Page 11 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ
P. 11
10 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları
˙
˙
I Iki Ifadenin Aynı Kuvvetlerinin Farkı
2
2
• − =( − )( + )
¡
3
2
3
• − =( − ) + + 2 ¢
¡
• − =( − ) −1 + −2 + −3 2 1 −2 + −1 ¢
+ ··· +
˙
˙
I Iki Ifadenin Aynı Tek Kuvvetlerinin Toplamı
˙ Iki ifadenin tek kuvvetlerinin toplamlarını a¸sa˘ gıdaki gibi çarpanlara ayırabiliriz.
¡ ¢
3
3
2
• + =( + ) − + 2
¡ ¢
3
5
4
5
3
2 2
• + =( + ) − + − + 4
Bunu en genel halde ifade edelim. E˘ ger tamsayısı tek ise,
¡
− ··· −
• + =( + ) −1 − −2 + −3 2 1 −2 + −1 ¢
biçiminde çarpanlara ayrılır.
˙
I Toplamların Kareleriyle Ilgili Özde¸slikler
Özellikle, bazı denklemlerin çözümünde a¸sa˘ gıdaki çok kullanılan özde¸sliklerden yarar
lanmak çözümü kolayla¸stıracaktır.
2 2 2
• ( + ) = +2 +
2 2 2
• ( − ) = − 2 +
2 2 2 2
• ( + + ) = + + +2 ( + + )
2 2 2 2
• ( − + ) = + + +2 (− − + )
2 2 2 2 2
• ( + + + ) = + + + +2 ( + + + + + )
2 2 2 2
• ( 1 + 2 + ··· + ) = + +·· ·+ +2 ( 1 2 + 1 3 + ·· · + −1 )
2
1
I Toplamların küpleriyle ilgili özde¸slikler
˙ Iki veya üç ifadenin toplamlarının küplerini a¸sa˘ gıdaki ¸sekilde ifade edebiliriz.
3 3 2 2 3
• ( + ) = +3 +3 +
3 3 2 2 3
• ( − ) = − 3 +3 −
3 ¡ 3 3 3 ¢
• ( + + ) =3 ( + )( + )( + )+ + +
3 ¡ 3 3 3 ¢
• ( − + ) =3 ( − )( + )( − )+ − +
I Bazı Toplam formülleri
( +1)
1. 1 + 2+3+ ··· + =
2
( +1) (2 +1)
2
2
2
2
2. 1 +2 +3 + ·· · + =
6
³ (+1) ´ 2
3
3
3
3
3. 1 +2 +3 + ·· · + =
2
− 1
3
−1
2
4. 1+ + + + ·· · + = ( 6=1)
− 1
