Page 14 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ
P. 14
Ön Bilgiler 13
I Multinom Açılımında Terim Sayısının Hesaplanması
( 1 + 2 + ·· · + −1 + ) gibi bir ifadenin açılımında kaç terim oldu˘ gu
özde¸s nesnenin farklı ki¸siye kaç de˘ gi¸sik ¸sekilde da˘ gıtılabilece˘ gi formülü ile bulu
nabilir. Bu açılımda 1 2 ifadelerinin üslerinin toplamı daima oldu˘ gun
dan ve ’nin tüm parçalanı¸sları bu açılımda bulunaca˘ gından ( 1 + 2 + ·· · + )
ifadesinin açılımındaki terim sayısı 1 + 2 + ··· + −1 + = denklemini
¡ +−1 ¢
sa˘ glayan ( 1 2 ) do˘ gal sayı rlilerinin sayısı kadardır. Yani ’dir.
−1
I Vieta Formülleri
+ −1 −1 + ·· · + 1 + 0 =0 denkleminin tane kökü (reel veya
karma¸sık, farklı veya çakı¸sık) 1 2 olsun. Bu durumda,
+ −1 −1 + ··· + 1 + 0 =( − 1 )( − 2 ) ·· · ( − )= 0
e¸sitli˘ ginde sa˘ g taraf açılırsa,
= − ( 1 + 2 + ·· · + ) −1 +( 1 2 + 1 3 + ··· + −1 ) −2
+( 1 2 3 + 1 2 4 + ··· + −2 −1 ) −2 + ± 1 2 ·· · =0
olur. ’ların önündeki katsayılar kar¸sıla¸stırılırsa,
− −1
=
1 + 2 + ··· +
−2
=
1 2 + 1 3 + ·· · + −1
− −3
=
1 2 3 + 1 2 4 + ·· · + −2 −1
. . .
(−1) 0
=
1 2 ···
elde edilir. Bu formüllere Vieta formülleri denir.
˙
I Ikinci Dereceden Bir Denklemin Kökleri
2
2
6=0 olmak üzere, ++ =0 denkleminde, ∆ = −4 de˘ gerine, denklemin
diskriminantı denir. ∆ 0 ise denklemin iki farklı reel kökü, ∆ =0 ise denklemin
çakı¸sık iki reel kökü vardır. ∆ 0 ise denklemin reel kökü yoktur. Kökler e¸slenik
karma¸sık sayılardır. ∆ ≥ 0 olması durumunda, reel kökler,
√
− ± ∆
12 =
2
formülü ile bulunur.
I Rasyonel Kök Teoremi :
+ −1 −1 + ··· + 1 + 0 =0 denkleminde tüm katsayılar tamsayı ise,
denklemin herhangi tam kökü sabit terimi, yani 0 ’ı bölmelidir. Ayrıca, = bir
rasyonel çözüm ise, sayısı 0 ’ı ve sayısı da ’i bölmelidir.
