Page 12 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

Ön Bilgiler 11

I Dahiliyet ­ Hariciyet Prensibi
  ve  kümelerinin eleman sayıları arasında
 ( ∪ )=  ()+  () −  ( ∩ );

 ( ∪  ∪ )=  ()+  ()+  () − ( ∩ ) − ( ∩ ) − ( ∩ )
+ ( ∩  ∩ )
e¸sitlikleri vardır.
I Permütasyon
 ve  pozitif do˘ gal sayılar ve  ≤  olmak üzere elemanlı bir  kümesinin 
elemanlı sıralı ’lilerine  kümesinin  li permütasyonları denir. Bu permütasyonları
 ( ) ile gösteririz ve bu permütasyonların sayısını
!
( )=
( − )!
formülü ile buluruz.
I Dairesel Permütasyon
 tane farklı elemanın çember ¸seklindeki bir nesnenin etrafında sıralanmasına ele­
manın dairesel permütasyonu denir.  elemanın dairesel permütasyonlarının sayısı
( − 1)!’dir.
I Tekrarlı Permütasyon
 tane nesnenin 1 tanesi birbiri ile aynı birinci türden,  2 tanesi ikinci türden ve
bu ¸sekilde devam ederek  tanesi de ’ıncı türden nesneler olsun. Bu durumda
 =  1 +  2 + ··· +   olmak üzere, bu  tane nesnenin ’li permütasyonlarının
sayısı
!
( 1  2     )=
 1 ! 2 ! ·· ·   !
ile bulunur.
I Kombinasyon
Permütasyonda sıra önemli iken, kombinasyonda sıra önemli de˘ gil seçim önem­
lidir. Dolayısıyla permütasyon sayısı kombinasyon sayısından daima büyük veya
e¸sittir. Kombinasyonda seçilen elemanlarlardan küme olu¸stururuz. Kümenin içinde
elemanların yer de˘ gi¸stirmesi kümeyi de˘ gi¸stirmedi˘ gi için kombinasyonda seçilen ele­
manların sırası önemli de˘ gildir. Örne˘ gin; A B ve C ile gösterilen üç nesneden iki
tanesini sırayı göz önüne almadan seçersek AB AC BC gibi üç farklı seçim yapıla­
bilir. BA ile AB aynı seçimlerdir.  elemanlı bir kümenin  elemanlı tüm altkü­
melerinin sayısı ¡ ¢ veya  ( ) ile gösterilir ve


¡ ¢ ! ()( − 1) ·· · ( −  +1)

 =  ( )= !( − )! = !
ile bulunur.