Page 15 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ
P. 15
14 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları
I n! sayısıının bir asal böleninin en büyük kuvveti
1 2
1 ve =1 2 için asal sayılar olmak üzere, != ·· · olsun. O
2
1
hade, db||ce sayısının tamde˘ gerini göstermek üzere her =1 2 için,
l j ¯ ¯ km l j ¯ ¯ km l j ¯ ¯ km
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
= ¯ ¯ + ¯ 2 ¯ + ¯ 3 ¯ + ·· ·
olur. Ba¸ska bir ifadeyle, ! sayısının asal çarpanlarına göre yazılı¸sında, herhangi bir
l j ¯ ¯ km l j ¯ ¯ km l j ¯ ¯ km
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
asal çarpanının kuvveti, = ¯ ¯ + ¯ 3 ¯ + ·· · ile bulunur.
2 ¯ + ¯
I Bölünebilme
∈ Z ve 6=0 olmak üzere = yazılabiliyorsa sayısı sayısını böler
veya sayısı sayısının katıdır denir. | ile gösterilir. E˘ ger sayısı sayısını
bölmüyorsa - ¸seklinde gösterilir.
i) | ve | ise = ± yani, || = || olur.
ii) | ve | ise | olur.
iii) | ve | ise ∈ Z için | + olur.
I Bir sayının bir kuvvetinin bir sayıya bölümünden elde edilecek kalanların bilinmesi
bazen bir sorunun çözümünü oldukça kolayla¸stırabilir. Özellikle, tamsayılarda bir
denklemin çözümünün olmadı˘ gını göstermek için bu bilgi i¸simize yarıyor.
Bir sayının karesinin
4’e bölümünden kalanlar 0 veya 1
7’ye bölümünden kalanlar 0 1 2 veya 4
8’e bölümünden kalanlar 0 1 veya 4
16’ya bölümünden kalanlar 0 1 4 veya 9 olabilir.
Bir sayının küpünün
7’ye bölümünden kalanlar 0 1 veya 6,
9’a bölümünden kalanlar 0 1 veya 8,
13’e bölümünden kalanlar 0 1 5 8 veya 12 olabilir.
Bir sayının dördüncü kuvvetinin
8’e bölümünden kalanlar 0 veya 1
16’ya bölümünden kalanlar 0 veya 1 olabilir.
I Dirichlet Teoremi
ve ortak böleni olmayan iki do˘ galsayıolmak üzere + biçiminde yazılan
sonsuz sayıda asal sayı vardır. Ba¸ska bir ifadeyle, ( + ) =1 2 aritmetik
dizisi sonsuz çoklukta asal sayı içerir.
I Bölme Algoritması
∈ Z ve 0 olmak üzere 0 ≤ ile = · + e¸sitli˘ gini sa˘ glayan bir tek
ve sayıları vardır.
