Page 13 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

12 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları

I Da˘ gılım
1. Farklı nesnelerin da˘ gıtılması
Farklı  tane nesneyi  ki¸siye da˘ gıtmak istersek her nesne için  seçenek bu­

lund˘ gundan  de˘ gi¸sik ¸sekilde da˘ gıtım yapabiliriz.
2. Özde¸s nesnelerin da˘ gıtılması
 tane özde¸s nesneyi  ki¸siye kaç de˘ gi¸sik ¸sekilde da˘ gıtabilece˘ gimizi bulalım.
Bunu hesaplamak için tekrarlı permütasyonu kullanaca˘ gız.  tane özde¸s nesneyi yan
yana yerle¸stirelim.
~~~ ·· · ~~
Bu  tane ~ nesnesini  ki¸siye da˘ gıtmak için − 1 tane çubu˘ gu nesnelerin sa˘ gına
ya da soluna koyabiliriz. Yani problem " tane nesne ~ ile  − 1 tane çubuk | kaç
de˘ gi¸sik ¸sekilde sıralanır" tekrarlı permütasyon sorusuna e¸sde˘ ger olur. Bu ise
( +  − 1)!
( − 1)!!
¡ +−1 ¢
ile bulunabilir. Bu formülü ¸ seklinde de yazabiliriz.
−1
Ohalde tane özde¸s nesneyi  ki¸siye ¡ +−1 ¢ de˘ gi¸sik ¸sekilde da˘ gıtmak mümkündür.
−1
I Binom Açılımı
  P ¡ ¢  −

( + ) =  

=0
¡ ¢
   P ¡ ¢   P  

Örnek : (1 + 1) =2 = ve 0=(1 − 1) = (−1)
 
=0 =0
I Binom Katsayılarının Özellikleri
¡ ¢ ¡ ¢

1. =  −1
  −1
¡ ¢ ¡  ¢

2. Simetri Özelli˘ gi : Her 0 ≤  ≤  için = ;
 −
¡ ¢ ¡ −1 ¢ ¡ −1 ¢

3. Pascal Özde¸sli˘ gi : Her 1 ≤  ≤  için = + ;
 −1 

4. Toplam Özelli˘ gi : ¡ ¢ + ¡ +1 ¢ + ¡ +2 ¢ + ·· · + ¡ + ¢ = ¡ ++1 ¢ ;
0 1 2  



¡ ¢¡ ¢ ¡ ¢¡ − ¢
5. Newton Özde¸sli˘ gi : 0 ≤  ≤  ≤  tamsayıları için = .
   −
I Multinom Açılımı
 1  2  3    negatif olmayan tamsayılar ve  =  1 + 2 +·· · +  olmak üzere
!
¡ ¢

=
 1 ! 2 ! ···   !
 1  2 ···  
¸ seklinde tanımlanır. Binom açılımına benzer ¸sekilde
 P ¡  ¢
( 1 +  2 + ··· +   ) =   1 ·   2 ·· ·   

2
1
 1  2···  
 1 + 2 +···+  =
e¸sitli˘ gi vardır. Bu ifadeye Multinom açılımı denir.