Page 17 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ
P. 17
16 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları
I Euler Fonksiyonu ve Euler Teoremi
≥ 2 sayısından küçük olup, ile aralarında asal olan pozitif tamsayıların sayısını
() ile gösterelim. () fonksiyonuna, ’nin Euler fonksiyonu denir. asal ise,
()= − 1 oldu˘ gu açıktır. ( )= 1 için,
( · )= () · ()
1 2
ve = ··· için,
2
1
µ ¶ µ ¶
1 1
()= 1 − ··· 1 −
1
e¸sitlikleri sa˘ glanır. (1) = 1 olarak tanımlanır.
Euler Teoremi : ( )= 1 ise Euler fonksiyonu olmak üzere () ≡ 1(mod )’dir.
¡ ¢¡ ¢
1 1 24 ≡ 1 (mod 72)’dir.
Örne˘ gin, (72) = 72 · 1 − 1 − =24 oldu˘ gundan, 37
2 3
I Wilson Teoremi
’nin birasalsayıolmasıiçingerek ve yeterko¸sul ( − 1)! ≡−1(mod ) olmasıdır.
I Çin Kalan Teoremi
1 2 3 sayıları iki¸ser iki¸ser aralarında asal sayılar olmak üzere
⎧
⎪ ≡ 1 (mod 1 )
⎪
⎪
⎨ ≡ 2 (mod 2 )
. .
⎪ .
⎪
⎪
⎩
≡ (mod )
denklik sistemi mod ( 1 2 ·· · )’ye göre bir tek çözüme sahiptir.
I Dizi
Tanım kümesi pozitif tamsayılar kümesi olan bir fonksiyona dizi denir. Dizileri fonk
siyon notasyonu yerine alt indis notasyonu ile gösteririz. 1 2 sayılarına
dizinin terimleri ve ’ye ba˘ glı bir ifade olan ’ye ise dizinin genel terimi denir. Bir
( ) dizisinde, yerine 1 ≤ 1 2 3 ··· ··· ¸sartını sa˘ glayan bir
de˘ geri yazılarak elde edilen diziye ( ) dizisinin bir alt dizisi denir.
I Aritmetik Dizi
ve gerçel sayılar olmak üzere, + +2 +3 dizisinin genel terimi
= +( − 1)’dir. Böyle ifade edilebilen bir diziye aritmetik dizi, sayısına da
dizinin ortak farkı denir. Aritmetik dizide, her bir terim kendinden bir önceki ve bir
sonraki terimlerin aritmetik ortalamasına e¸sittir : −1 + −1 =
2
Hatta, kendinden önceki ve sonraki terimin aritmetik ortalamasına e¸sittir. Yani,
− + −+1 + ··· + −1 + +1 + +2 + ··· + +
=
2
e¸sitli˘ gi sa˘ glanır. Bir aritmetik dizinin ilk teriminin toplamını kolayca hesaplayabili
riz : ilk terimin toplamını = ( 1 + ) formülü ile buluruz.
2
