Page 397 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ
P. 397

396                                  Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları



                                               mesafe
             Otobüslerin saat kaçta yanyana geldi˘ gini
             bildi˘ gimizden, kesi¸sme noktalarını                 (DB)   (DC)
             aynı harfler bir do˘ gru üzerinde olacak      (AD)
             ¸ sekilde a¸sa˘ gıdaki gibi gösterebiliriz.  (AC)  (BC)
             Buna göre grafikte çizimler yapılırsa
             aranan (BC) noktasının (AD), (AB)    (AB)
             ve (DC) noktalarının olu¸sturdu˘ gu üç­
             genin a˘ gırlık merkezi oldu˘ gu görülür.
             ˙ Istenen saat, 10:00’a  5 3  × 60 = 100
             dakika eklenerek 11:40 olarak bu­    9:00  10:00  11:00 ?  13:00  15:00  saat
             lunur.
             Not: Kö¸se koordinatları, ( 1  1 ), ( 2  2 ) ve ( 3  3 ) olan bir üçgenin a˘ gırlık merkezi,
                                    µ                        ¶
                                       1 +  2 +  3  1 +  2 +  3
                                 =              
                                           3           3
             formülüyle bulunur.

             25. Bir pozitif tamsayı, rakamlar toplamı birbirine e¸sit olan iki sayının yanyana
             yazılmasıyla elde edilebiliyorsa bu sayıya dengeli sayı diyelim. Örne˘ gin; 55
             (5 = 5), 123 (1 + 2 = 3), 321 (3 = 2 + 1), 9788 (9 + 7 = 8 + 8) birer dengeli
             sayıdır. Buna göre kendisi ve ardı¸sı˘ gı dengeli olan dört basamaklı en küçük sayı
             kaçtır?
             Çözüm: Herhangi bir n pozitif tamsayısının rakamları toplamını () ile gösterelim.
             Bu durumda her dengeli  sayısı için () kesinlikle bir çift sayı olmak zorundadır.
             Di˘ ger taraftan dengeli  sayısının birler basama˘ gının 9 olması durumu haricinde her
             zaman ( +1) = ()+1 olmak zorundadır. Bu ise dengeli sayının rakam­
             ları toplamı çift olaca˘ gından mümkün de˘ gildir. O halde, aranan  sayısının birler
             basama˘ gının 9 olması gerekmektedir. Yani, dört basamaklı dengeli  sayısı,

                                       =         9
             ¸ seklinde yazılabilir. Buna göre  =9 olması durumunda  =  =9 bulunur. Bu
             durumda  = 9999 olacak ve  +1 sayısı dengeli sayı olmayacaktır. O halde,  ≤ 8
             olmak zorundadır. Dört basamaklı en küçük do˘ galsayıyıaradı˘ gımızdan,  =1 alarak
                                       = 1        9
             durumunu inceleyelim. Bu durumda,
                                    +1 = 1       +1   0
             formunda olacaktır.  ve +1 dengeli sayılar oldu˘ gundan, 1++ =9 ve 1+ = +1
             e¸sitlikleri sa˘ glanmalıdır. Buradan,  =  =4 bulunur. Sonuç olarak, istenen ¸sekildeki
             en küçük  sayısı, 1449’dur.
   392   393   394   395   396   397   398   399   400   401