Page 393 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ
P. 393
392 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları
=10 ve =11 ise, L () ≤ G () daima sa˘ glanır. O halde, istenen küme
sayısı :
£¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢¤ ¡ ¢ ¡ ¢
3 + 4 + 5 + ··· + 10 + 11 + 11 + 11
1 2 3 8 9 10 11
9 ¡
P +2 ¢
olacaktır. Bu toplamı kısaca, 12 + biçiminde yazabiliriz. Böylece,
=1
9
9 ¡
P +2 ¢ 1 P ¡ 2 ¢
12 + = 12+ +3 +2
=1 2 =1
1 ¡ 9·10·19 9·10 ¢
= 12+ +3· +9·2 =231
2 6 2
bulunur.
17. Berk, ö˘ gleden sonra 5 ile 6 arasında evden çıkıyor ve
6 ile 7 arasında eve geri dönüyor. Saatine baktı˘ gındaysa,
evden çıkı¸svedönü¸s saatlerinde akrep ile yelkovanın tama
men yer de˘ gi¸stirmi¸soldu˘ gunu görüyor. m ve n aralarında
asal pozitif tamsayılar olmak üzere, Berk’in evden çıkı¸s
m
saati 5+ ise, 5n + m de˘ gerini hesaplayınız.
n
Çözüm: Mekanik saatte, yelkovan 60 dakikada 360 iler
◦
◦
◦
ledi˘ ginden dakikada (6) ilerler, akrep ise 60 dakikada 30 ilerledi˘ ginden
¡ ¢
dakikada ◦ ilerler. Daha genel olarak; + ∈ {1 2 11} olacak ¸sekilde,
2
çıkı¸sta saatin ’yi 1 dakika geçti˘ gi ve geli¸ste saatin ( + )’yi 2 dakika geçti˘ gi
durumu ele alalım.
¡ ¢ ◦
Saat ’yi 1 dakika geçti˘ ginde, akrebin 12 pozisyonuyla yaptı˘ gı açı 30 + 1 ,
◦
2
yelkovanın 12 pozisyonuyla yaptı˘ gı açıysa (6 1 ) ’dir. Benzer ¸sekilde, saat ( + )’yi
◦
¡ ¢ ◦
◦
2 dakika geçti˘ ginde, akrebin 12 pozisyonu ile yaptı˘ gı açı 30 (+ )+ 2 ,yelko
2
vanın 12 pozisyonu ile yaptı˘ gı açıysa (6 2 ) ’dir. O halde, akrep ve yelkovanın yer
◦
de˘ gi¸stirme durumu,
1
30 + =6 2 ⇒ 12 2 − 1 =60
2
2
30( + )+ =6 1 ⇒ 12 1 − 2 = 60( + )
2
e¸sitlikleriyle belirlidir. Verilen problemde =5 ve =1 durumu sorulmu¸stur. Buna
göre, 12 2 − 1 =60·5 ve 12 1 − 2 =60·6 olur. Böylece, bu denklem sisteminden,
60 · 7 60 · 6
1 = ve 2 =
13 13
elde edilir. 1 ve 2 de˘ gerleri dakika cinsindendir. Saat cinsinden yazılırsa, evden
7
6
çıkı¸ssaatinin 5+ 13 ve eve giri¸ssaatininise 6+ 13 oldu˘ gu bulunur. O halde; =7,
=13 ve 5 + =5 · 13 + 7 = 72 bulunur.
