Page 396 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2019 Sınav Sorularının Çözümleri 395

1
22. a 1 =7 a 2 =15 olmak üzere, n ≥ 1 için, a +2 = − +a  ¸seklinde
a +1
tanımlanmı¸s bir sonlu dizinin kaçıncı terimi sıfırdır?
Çözüm: Verilen e¸sitli˘ gi,  +2 ·  +1 −  +1 ·   = −1 ¸seklinde yazabiliriz.
  =  +1 ·   denilirse,  +1 −   = −1 olur. Dolayısıyla, (  ) dizisi, dizi farkı
(−1) olan bir aritmetik dizidir. Buradan,  +1 =  1 +  =  1  2 −  = 105 − 
olacaktır. Böylece,  = 105 için,  +1 =0 olaca˘ gından,
 +2 ·  +1 =0 ⇒  107 ·  106 =0
elde edilir ki soruda verilen e¸sitli˘ ge göre  +1 6=0 olaca˘ gından,  +2 =  107 =0
bulunur.

23. b = a +1 olmak üzere, her a ∈ R için sa˘ glanan
2
3
1 − a + a − a + ·· · + a 20 − a 21
1
2
= c 21 b 21 + c 20 b 20 + ·· · + c 2 b + c 1 b + c 0
e¸sitli˘ ginde c 2 katsayısı kaçtır?
Çözüm:  =  − 1 oldu˘ gundan,
2
1
 0 +  1  +  2  + ·· · +  21  21
2 3 20 21
=1− ( − 1) + ( − 1) − ( − 1) + ··· +( − 1) − ( − 1)
2 3 20 21
=1+ (1 − )+(1 − ) +(1 − ) + ··· +(1 − ) +(1 − )
2
biçiminde yazabiliriz. Buradan, binom formülü kullanılırsa,  teriminin katsayısı,
¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢
4
3
2
21
20
 2 = + + + ··· + +
2 2 2 2 2

olur. ¡ ¢ = ¡ +1 ¢ − ¡  ¢ formülü kullanılırsa,
 +1 +1
µ ¶
22 22! 22 · 21 · 20
 2 = = = = 1540
3 3!19! 3 · 2
bulunur.
˙
24. Antalya’dan Istanbul’a giden A, B, C ve D otobüsleri, sabit hızla molasız
yolculuk yapmaktadırlar. A otobüsü, B, C ve D otobüsleriyle sırasıyla saat 09:00,
10:00 ve 11:00’da yanyana gelmi¸stir. Di˘ ger taraftan D otobüsü de B ve C ile
sırasıyla 13:00 ve 15:00’da yanyana gelmi¸stir. Buna göre, B’nin C ile yanyana
geldi˘ gi saat kaçtır? (Not: Otobüsler aynı anda yolculu˘ ga ba¸slamak zorunda
de˘ gildir. Yanyana gelmeler aynı gün içerisinde gerçekle¸smi¸stir.)
˙
Çözüm: Antalya ile Istanbul arasındaki mesafeyi, Antalya’yı 0 noktası kabul ederek,
y ekseninde, saati de x ekseninde belirtelim. Buna göre bir otobüsün hareketi bir
do˘ gru grafi˘ giyle gösterilebilir. Otobüslerin yanyana geldikleri zamanlarda bu do˘ grular
kesi¸secektir.