Page 392 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2019 Sınav Sorularının Çözümleri 391

Çözüm: Öncelikle, bir kenarının uzunlu˘ gu 4 br olan bir  e¸skenar üçgeni ve 
ve  kö¸selerinden geçen, yarıçapı 3 br olan çemberler çizilir. Bu ¸sekilde tam olarak
iki e¸s çember vardır. Dolayısıyla, bir kö¸sesi  olan ve di˘ ger iki kö¸sesi çemberlerden
biri üzerinde olan,  den farklı iki e¸skenar üçgen vardır. ¸Sekilde  ve 
üçgenleri gösterilmi¸stir.

4 üçgeninde sinüs teoremini uygulayalım.
√
sin 60 ◦ 1 32 1 √
= ⇒ = ⇒ || =3 3
|| 2 || 6
bulunur. Di˘ ger taraftan, aynı ölçüde yay gördüklerinden ∠ ve ∠ açıları da
e¸sit ölçüdedir. O halde, AKA e¸slik teoreminden, 4 = 4 oldu˘ gu görülür.
∼
√
Ohalde, || = || ve || = || =3 3 olacaktır. || = || =  ise,
4 veya 4 üçgeninine kosinüs teoremi uygulanırsa,
√ 2
2
2
◦
(3 3) =16 + ( +4) − 2( +4) 4 cos 60 ⇒  +4 − 11 = 0
√
denklemi elde edilir. Buradan,  = 15 − 2 bulunur. O halde, aranan e¸skenar
√
√
üçgenlerin kenar uzunluklarının olabilece˘ gi de˘ gerler, 15 − 2 br ve 15 − 2+4 =
√ √
15 + 2 br olarak bulunur ve bunların toplamı da 2 15 br olur.
16. Herhangi bir A tamsayı kümesinin en büyük elemanına, kümenin lideri
diyelim ve L (A) ile gösterelim. A kümesininelemansayısının2fazlasınada
kümenin gücü diyelim ve G (A) ile gösterelim (G (A)= s (A) +2).Buna göre,
A ⊂ {1, 2, 3, ..., 11} ve A 6= ∅ olmak üzere, L (A) de˘ geri, G (A) de˘ gerinden
büyük olmayacak ¸sekilde kaç A kümesi vardır?
Çözüm: max {} ≤  ()+2 olacak ¸sekilde,
 ⊂ {1 2 3  11} ve  6= ∅ kümelerini arıyoruz.  ()=  olsun,
 =1 ise,  kümesi, sadece {1}, {2}, {3} kümeleri olabilir. Yani, {1 2 3} kümesinin
tek elemanlı altküme sayısı kadar küme, istenen ko¸sulu sa˘ glar.
 =2 ise  kümesi, {1 2 3 4} kümesinin iki elemanlı herhangi bir altkümesi ola­
bilir. Benzer dü¸sünceyle devam edilerek,
 =8 ise,  kümesi, {1 2 3 4  10} kümesinin 8 elemanlı herhangi bir altkümesi
olabilir.
 =9 ise,  kümesi, {1 2 3 4  11} kümesinin 9 elemanlı herhangi bir altkümesi
olabilir.