Page 394 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2019 Sınav Sorularının Çözümleri 393

18. Yandaki ¸sekilde, O merkezli ve 1 br yarıçaplı C çemberi
ve |OA| =2 br olacak ¸sekilde bir A noktası verilmi¸stir. A
noktasından geçen, merkezi C çemberi üzerinde ve C çember­
ine te˘ get olan çemberin, C çemberine de˘ gme noktası T olsun.
|AT | uzunlu˘ gu kaç birimdir?
Çözüm: Aranan özellikte  do˘ grusuna göre simetrik iki çemberin mevcut oldu˘ gu,
ve de˘ gme noktalarının  noktasına olan uzaklıklarının e¸sit oldu˘ gu görülebilir.

Çemberlerden biri göz önüne alınıp, de˘ gme noktasına  ve merkezine  denirse ,
 ve  do˘ grusal olur.  noktasından bu do˘ gruya çizilen dikmeye  denirse, çözüm
için  ve  üçgenlerinde Pisagor teoremi uygulamak yeterli olacaktır. Buna
2 ¡ 15 9 ¢ 12 √
göre, || =154 ve || = + = 6 bulunur.
4 4
19. Yandaki ¸sekilde ABCD bir kare, K, L, M, N nok­
taları do˘ grusal ve D, L, M, P , C noktaları bir düzgün
sekizgenin ardı¸sık kö¸seleridir. |KD| =1 br ise ABNK
2
dörtgeninin alanı kaç br ’dir?
Çözüm: ,  do˘ gru parçalarını ve  dikmesini
çizelim. Düzgün sekizgenin özelliklerinden, a¸sa˘ gıdaki e¸sit­
likler görülebilir: || = || = ||, || = || = ||.

Ayrıca,  noktasının  karesinin a˘ gırlık merkezi
oldu˘ gu açık görülür. Böylece, || =1 br oldu˘ gu
bulunur. ¸Simdi, e˘ ger || =  ise,
√
|| =  2=  +1 br
√
olur. Buradan  =( 2+1)  ve karenin bir kenarı
√
( 2+ 2)  olarak bulunur.  dörtgeninin alanı
 karesinin alanının yarısı olaca˘ gından,
√
(2 + 2) 2 √ 2
()= =(3 + 2 2) br
2
bulunur.