Page 395 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

394 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları

20. n ve n +1 sayılarının her ikisinin de rakamları toplamı 80 ile bölünebilmek­
tedir. Bu ko¸sulu sa˘ glayan en küçük n sayısının 11’e bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm: Ardı¸sık iki sayının da, rakamları toplamı 80’e bölünüyorsa, bu ko¸sulu sa˘ gla­
yan en küçük sayıyı bulmak için, ardı¸sık sayılardan küçük olanın rakamları toplamı
160, büyük olanın rakamları toplamı da 80 olarak alınmalıdır. E¸sitolmasıveyatersi
olması mümkün de˘ gildir. Buna göre,  +1 sayısının rakamları toplamı 80 ise, 

sayısının rakamları toplamı 80 olmak üzere,  +1 =  · 10 yazalım. 9 · 8+8 = 80
oldu˘ gundan,  sayısı en küçük
8
8
 = 899999999 = 8 · 10 +10 − 1
seçilebilir. Böylece,
 + 1 = 899999999000000
| {z }
 tane
 = 899999998999999
| {z }
 tane
olacaktır.  sayısının rakamları toplamının 160 olmasını istiyoruz. Buna göre, 2 · 8+
7 · 9+9 ·  = 160 e¸sitli˘ ginden,  =9 olur. Sonuç olarak, mod 11’de,
¡ 8 8 ¢ 9
 = 8 · 10 +10 − 1 · 10 − 1
³ ´
8 8 9
≡ 8 · (−1) +(−1) − 1 · (−1) +10
≡−8+10 ≡ 2 (mod 11)
elde edilir.

3
2
2
2
21. x>y > 0 olmak üzere, x + y =8 ise, S = (xy) (x − y) ifadesinin
alabilece˘ gi en büyük de˘ ger kaçtır?
Çözüm:  +  =8 ise,
2
2
2 2
( − ) ( − )  
2
8= ( − ) +2 = + + + ··· +
2 2 3 3
| {z }
6 tane
µ ¶ 18
1 4 1 6
≥ 8 · ( − ) · · ()
2 2 3 6
µ ¶ 14
1 2 3
=8 · · ( − ) · ()
54
2
3
olur ki, buradan ( − ) () ≤ 54 elde edilir. AGO e¸sitsizli˘ ginde, e¸sitlik durumu,
2
1 ( − ) =  =1 için, yani  =3 ve  −  = √ 2 e¸sitliklerini sa˘ glayan  ve 
1
2 3 ¡√ √ ¢ ¡√ √ ¢
için sa˘ glanır. Buradan,  = 1 14 + 2 ve  = 1 14 − 2 bulunur.
2 2