Page 398 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

6. BÖLÜM ÇEMBERLER - II

Soru ( 2006 KOSTARİKA ):
IACI+IBCI=3IABI olan ABC üçgeninde; I merkezli iç teğet çember, [AC] ve [BC] kenar-
larına D ve E noktalarında teğettir. D ve E noktalarının I noktasına göre simetrileri K
ve L noktaları olduğuna göre, ABKL çemberseldir. Gösteriniz.

Çözüm:
S S
m m
A A
2r 2r
n n
C' n L D C' L D
r r r r
T m+n T m+n
2r r 2r r
m I I
K r K r
n m m+n C n m m+n C
F B E F B E
1- İç teğet çemberin [AB] kenarına değme noktası T olsun. IBTI=m ve IATI=n alınırsa IBEI=m,
IADI=n, IDCI=IECI=m+n olur. C noktasının D, I ve E noktalarına göre simetriği alınarak S, C'
ve F noktaları belirlenirse BFC' ≅ ADK, C'SA ≅ BEL olur (KAK).
2- IC'KI=IABI=m+n ve IC'BI=IAKI olduğu için C'BK ≅ ABK olur (KKK). Benzer şekilde C'AL ve ABL
üçgenleri de eştir. Buradan s(BAK)=s(BC'E) ve s(LC'A)=s(LBA) olur. O halde AKBC' ve ALBC'
çemberseldir. A, B, C' noktaları ortak olduğundan, bu çember A-B-K-L noktalarından geçen
çemberdir.
* Bu soru 2006 yılında; POLONYA' da, ALMANYA' da ve FRANSA' da sorulmuştur.

6.15 Gözbebeği Teoremi

Yandaki gibi; farklı iki çembe- İspat:
rin merkezinden, diğer çembe-
re teğet doğruları çizilirse, Y
IABI=ICDI olur.

T
B D B D
2
P Q
A C A C
Z
X
1- Bilindiği üzere s(PYQ)=s(PTQ)=90° ve PYTQ dörtgeni bir kirişler dörtgenidir. Şu halde
s(TPQ)=α ve s(YPB)=2β alınırsa, s(TQY)=2β ve s(TYQ)=α olur.
2- ''Aynı yayı gören teğet kiriş açının ölçüsü, merkez açının ölçüsünün yarısına eşittir.'' prensibin-
den, s(DYB)=s(PTD)=β olur. Bu ise, YBDT dörtgeninin kirişler dörtgeni olduğunu gösterir;
s(TYD)=α iken s(TBD)=α olur.
3- Sonuçta s(TBD)=s(TPQ) olmasıyla [BD] // [PQ] olduğu anlaşılır. PBA üçgeni; taban açıları
90°-α olan bir ikizkenar üçgen olduğu için s(ABD)=90° dir. Benzer yol takip edilerek, ABDC nin
bir dikdörtgen olduğu görülür. Böylece IABI=ICDI bulunur.

397