Page 393 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ

Soru ( 2001 AVUSTRALYA ):
Bir çember üzerinde A, B, C, A', B', C' noktaları; AA' ⊥ BC, BB' ⊥ CA ve CC' ⊥ AB ola-
cak şekilde alınıyor. D noktası çember üzerinde bir nokta olmak üzere; DA' ∩ BC={A''},
DB' ∩ CA={B''}, DC' ∩ AB={C''} ise, gösteriniz ki A'', B'', C'' ve ABC üçgeninin dik-
lik merkezi doğrusaldır.
Çözüm:
B' B' 1- Pascal teoremi yardımıyla A, A', D, C',
A A
C, B noktalarına bakıp H, A'', C'' nokta-
larının doğrusal olduğunu söyleyebiliriz.
Benzer şekilde B', D, C', C, A, B nokta-
C'' D C'' D
C' C' larına bakıp B'', C'', H noktalarının doğ-
C C rusal olduğunu söyleriz. Böylece B'', A'',
B A'' B A''
A' A' H, C'' noktalarının doğrusal olduğundan
emin oluruz.
B'' B''
6.13 Kelebek Teoremi

Bir çemberde çap olmayan İspat:
[PQ] kirişinin orta noktası olan
M noktasından geçen [AB] ve C C 1- IMXI=x, IMYI=y, IMPI=IMQI=a olsun. X ve
A A
[CD] kirişleri çiziliyor. [AD] ve A' C' Y noktalarından [AB] ve [CD] kirişlerine
[BC] kirişleri, [PQ] doğru par- P X Y Q P X x M y Y Q sırasıyla [XA'], [XD'] , [YB'] ve [YC'] dikme-
çasını sırasıyla X ve Y nokta- M D' B' lerini çizelim. Benzer üçgenlerden
larında kestiğinde, IMXI=IMYI
olur.
B B

D D eşitliklerini yazabiliriz.

Soru ( 2008 MOĞOLİSTAN ):
Dar açılı ABC üçgeninde, [CD] yükseklik, H diklik merkezi, O çevrel çemberin merkezi
olmak üzere; D noktasından geçen OD doğrusuna dik olan doğru, [BC] kenarını E nok-
tasında kesiyor. Buna göre, s(DHE)=s(ABC) olduğunu gösteriniz.

Çözüm:
A A 1- Yandaki şekilde IHDI=IDKI olduğunu
Y (4.bölümde) göstermiştik. Bunu aklımızda
tutarak DE yi uzatalım; DE çemberi X ve Y
L
noktalarında kessin. Problemde XY ⊥ OD
O O
D K D verildiği için [XY] kirişinin orta noktası D nok-
H H tası olur. Bu bilgiler ışığında Kelebek
B E C B E C Teoremi ile IDEI=IDLI eşitliğine gideriz.
X Buradan LKEH ın bir paralelkenar olduğu
gözükür. Böylece
s(DHE)=s(LKH)=s(AKC)=s(ABC) bulunur.
392