Page 396 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

6. BÖLÜM ÇEMBERLER - II

Soru ( 2000 İMO-KORE ):
Γ ve Γ çemberleri M ve N noktalarında kesişmektedir. Γ ve Γ çemberlerinin M noktas-
1 2 1 2
ına yakın d ortak teğetleri çemberleri sırasıyla A ve B noktalarında kesiyor. M noktasın-
dan geçen, d ye paralel olan doğru Γ çemberini C noktasında ve Γ çemberini D nok-
1 2
tasında kesiyor. CA ∩ DB ={E} , AN ∩ CD = {P}, BN ∩ CD={Q} ise, IEPI=IEQI olduğu-
nu gösteriniz.

E Çözüm:
A
C
d
B A E 1- MN ve AB doğruları K noktasında kesişsin. Bu halde KN doğ-
P C

M K rusu kuvvet ekseni ve IAKI=IKBI dir. Bize PQ // AB verildiği
Q D B
P için M noktası da [PQ] nun orta noktası olur.
M
Q D 2- s(EAB)=s(ECD)=s(MAB) ve s(EBA)=s(EDC)=s(ABM) olduğu
için, EAMB dörtgeninde AB açıortaydır ve

N
EM ⊥ AB dir. Dolayısıyla EM ⊥ PQ olur. Bu ise EPQ üçgeni-
nin ikizkenar üçgen olduğunu veya IEPI=IEQI olduğunu gös-
N
terir.

Soru:
K Bir C çemberine içten teğet olan C ve C çemberlerinin değme noktaları sırasıyla A ve
1 2
A Y B noktalarıdır. C ve C çemberlerine ait kuvvet ekseninin, C çemberiyle kesişim nokta-
X
1 2
B ları K ve V olmak üzere, KA doğrusu C çemberini X noktasında ve KB doğrusu C çem-
1
2
berini Y noktasında kesiyor. Buna göre, XY doğrusunun, C ve C çemberlerinin
2
1
C 2 ortak teğeti olduğunu gösteriniz. (Üç Çember Teoremi)
C 1
C
Çözüm:
V 1- K noktası kuvvet ekseni üzerinde
T T olduğundan IKXI.IKAI=IKYI.IKBI dir.
L K L K
A X Y A X Y Şu halde IKXI:IKYI=IKBI:IKAI ve K
açısı ortak olduğu için KXY ≈ KBA olur
N B N B
(KAK benzerlik kriteri). Buradan
s(KXY)=s(KBA) bulunur.
C 2 C 2
C 1 C 1 2- AT ortak dış teğetinin çizildiğini düşü-
C C
nelim. [AB] doğru parçasının, C çem-
1
berini ikinci kez kestiği nokta N olmak
üzere, teğet kiriş açıdan
V V s(KBA)=s(TAK)=s(XNA) dır.
3- Şimdi XY doğrusunu hafifçe uzatıp, XY üzerinde L noktası alalım. Madem s(KXY)=s(LXA) dır,
o halde bu s(LXA)=s(XNA) demektir. İşte bu, LX doğrusunun, C çemberine teğet olduğunu
1
gösterir. Benzer şekilde LX doğrusu, C çemberine de teğet olur. Dolayısıyla doğrusu-
2
nun C ve C çemberlerine teğet olduğu anlaşılır.
1 2
395