Page 18 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ
P. 18
Ön Bilgiler 17
I Geometrik Dizi
ve sıfırdan farklı reel sayılar olmak üzere , , , , ... dizisinin genel
3
2
terimi, ≥ 1 için, = −1 ile verilir. Böyle bir diziye geometrik dizi, sayısına
da dizinin ortak çarpanı denir. 0 olmak üzere, 1 ise geometrik dizi artan
bir dizi, =1 ise sabit bir dizi, 0 1 ise azalan bir dizi ve 0 ise alterne
(de˘ gi¸simli) bir dizi olur. Bir geometrik dizide, her terim kendinden önce ve sonra
√
gelen terimin geometrik ortalamasına e¸sittir. Yani, = −1 · +1 ve genel
olarak,
√
= 2 − −+1 ··· −1 +1 +2 ··· +
e¸sitli˘ gi sa˘ glanır.
I Fibonacci dizisi
1 1 2 3 5 8 13 21 biçiminde, her bir terimin kendinden bir ve iki önceki terim
lerin toplamına e¸sit oldu˘ gu, 0 =1 1 =1 ve ≥ 2 için, = −1 + −2
yineleme ba˘ gıntısıyla verilen dizisine Fibonacci dizisi denir.
Fibonacci dizisinin genel terimi,
√ ¡ √ ¢ √ ¡ √ ¢
5 (1 + 5)2 5 (1 − 5)2
= −
5 5
biçimindedir.
I Homojen Yineleme Ba˘ gıntıları ve Dizilerin Genel Teriminin Bulunması
ve reel sayılar olmak üzere, = −1 + −2 formundaki ba˘ gıntılara
homojen yineleme (recurrence) ba˘ gıntıları denir. Örne˘ gin, yukarıda tanımladı˘ gımız
Fibonacci dizisi için, = −1 + −2 ba˘ gıntısı bir homojen yineleme ba˘ gıntısıdır.
= −1 + −2 formundaki yineleme ba˘ gıntılarının çözümü
2
− − =0
karakteristik denkleminin köklerine ba˘ glı olarak bulunabilir. Bu iddiamızın temelinde,
( ) dizisinin genel teriminin, bir ∈ R için, = ¸seklinde olabilece˘ gi tahmini
vardır. Buna göre,
−1 = −1 ve −2 = −2
olaca˘ gından, = −1 + −2 e¸sitli˘ gi,
= −1 + −2
¸ seklinde yazılabilir. Buradan,
2
− − =0
ikinci dereceden denklemi elde edilir. Bu denkleme, = −1 + −2 yineleme
ba˘ gıntısının karakteristik denklemi denir. ¸Simdi, bu denklemin köklerine göre, ( )
dizisinin genel teriminin nasıl olaca˘ gını irdeleyelim.
