Page 126 - og_2_olimpiyat

Örnek 54
2
63 x pozitif reel sayısı için x + toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?
x

Çarpım yapıldığında x ler sadeleşebilsin diye 54 = 27 + 27 eşitliğinden yararlanalım. Bu durum-
Çözüm x x x
4. Bölüm
27 27
x + +
2
da AGO dan x x ≥ 3 x 2 27 27 yazıp düzenleyelim.
.
3 x x
3
27 27 2 33 . 3 54 54
2
333
2
2
Buna göre x + + ≥ 3. 3 x . den x + ≥ .. ve x + toplamının alabileceği en
.
x x xx x x
küçük değer 27 olur.
'Boyuna problem yazıp çözüyoruz da ne işe yarıyor bu eşitsizlikler?' sorusu eşitsizlikler konusu
yerine gezegenimden başka bir konu için de sorulabiliyor. Verilebilecek bir çok cevap var. Ancak
burada ilgili olduğu kadarıyla söyleyecek olursam, sorunun cevabı; tabii ki başka problemlerin
çözümüne yarıyor. Örnek mi? İşte örnek(ler):
Örnek
3
3
64 Pozitif x ve y değerleri için x + y + 125 = 15xy denklemini sağlayan kaç farklı (x, y)
ikilisi vardır?

Bu problem için eşitsizliği düşünüp çözümü araştırmak gerekecek. Farklı çözüm arayışları bizi
Çözüm
2. ve 3. Dereceden Denklemler-Eşitsizlikler
çözüme çok yaklaştırmayabilir. Denklemin sol tarafındaki üç terim için (x , y , 125) AGO uygu-
3
3
x + y + 125
3
3
xy 5 olur. Denklemin sol tarafı için elde
layalım. ≥ 3 xy 125.. den x + y + 125 ≥ 3...
3
3
3
3
3
3
3
ettiğimiz x + y + 125 ≥ 15xy eşitsizliğin eşitlik durumunda denklem sağlanır.
3
Buna göre x = y = 125 den x = y = 5 olup denklemi (5, 5) ikilisi sağlar. Sonuç olarak denklemi
3
sağlayan 1 tane (x, y) ikilisi vardır.
Örnek
65 Ayrıtları (üç dik kenar uzunluğu) toplamı 15 cm olan bir dikdörtgenler prizmasının hacmi
en çok cm tür?
3
Öyle bakma. Bir ürün için dikdörtgenler prizması biçiminde en geniş hacimli ambalaj istenildiğini
Çözüm
düşünelim. Bu durumda problemin cevabı çok önemli olabilir. Dikdörtgenler prizmasının ayrıtları
x cm, y cm ve z cm olsun. x + y + z = 15 olduğunu biliyoruz. Aradığımız ise dikdörtgenler prizma-
sının hacmi olan x.y.z nin alabileceği en büyük değer. Bu durumda x, y, z için AGO uygulayalım;
++
xy z ≥ 3 xy z eşitsizliğinden 15 ≥ xy zolup 5 ≥ ( x yz ) den 125 ≥ xy z tir.
3
3
3
..
..
..
..
3
3 3
Buna göre, x.y.z çarpımının alabileceği en büyük değer (dikdörtgenler prizmasının hacmi en çok)
125 cm tür.
3
Hacim bu değeri x = y = z = 5 cm olduğu durumda alabildiği için dikdörtgenler prizmasının bir küp
olması gerekir. 3
n 
Ayrıtları toplamı n olan bir dikdörtgenler prizmasının hacmi en büyük    tür. Bu anda prizma
bir küptür.  3 
126 ALTIN NOKTA