Page 121 - og_2_olimpiyat

Örnek
53 x + 4y = 3 olduğuna göre, xy çarpımın alabileceği en büyük değer kaçtır?

x ve 4y sayılarının Aritmetik Ortalaması (bundan böyle AO diye kısaltacağım) Geometrik Ortala- 4. Bölüm
Çözüm
masından (bundan böyle GO diye kısaltacağım) eşit ya da büyük olduğu bilgisini kullanalım. Bu

durumda x + 4 y ≥ x 4. y eşitsizliğinden 3 ≥ 2 xy ve 3 ≥ xy olur. İki tarafın karesini alarak
.
2 2 4
9 ≥ xy eşitsizliği ile xy çarpımın alabileceği en büyük değer 9 dir. Gerçekten de x = 4y olması
16 16
durumunda x + 4y = 3 eşitliğinde x + x = 3 den x = 3 ve 3 = 4y den y = 3 olur. Buna göre xy
2 2 8
3 3 9
çarpımı en çok . = dır.
2 8 16

Örnek
54 3a + 2b = 7 eşitliğini sağlayan a ve b değerlerinin çarpımı en çok kaça eşittir?

3a + 2b 2. ve 3. Dereceden Denklemler-Eşitsizlikler
.
AO ≥ GOdan ≥ 32ab ve 3a + 2b ≥ 26 . ab olur. Eşitsizliğin iki tarafının karesini alıp

Çözüm 2
7
49
düzenleyerek 49 ≥ 24.ab den ≥ ab elde edilir. Buna göre a ve b değerlerinin çarpımı en çok
24
49 dir. Bu çarpım a = 7 ve b = 7 değerleri için gerçekleşir. Bu değerleri nasıl elde edebileceğini
24 4 6
anladın değil mi? (İPUCU: 3a = 2b)

Örnek 1
55 45n + 5n toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

1
45n +
Toplamın iki terimi için 5n ≥ 45n. 1 , eşitsizliğini (AO ≥ GO dan) yazalım. Düzenleyerek
Çözüm
2 5n
1
45n + 1
5n ≥ 9 den 45n + 1 ≥ 23 . bulunur. Buna göre, 45n + toplamının alabileceği en küçük
2 5n 5n
değer 6 dir. Gerektiğinde bu değerin hangi sayı (ya da sayılar) için elde edilebildiğini bulabilirsin.
1
Bu örnekte n = için toplamın en küçük değeri bulunur.
15

Örnek
56 9n + 1 toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?
2
4n 2
1
9n +
2
Toplamda iki terim olduğu için (AO ≥ GO dan) 4n 2 ≥ 9n . 1 eşitsizliğini yazabiliriz.
2
Çözüm 2 4n 2
Buna göre 9n + 1 ≥ 2 . 9n . 1 den 9n + 1 ≥ 2 . 3 olur. Sonuç olarak 9n + 1 2 toplamı-
2
2
2
2
4n 2 4n 2 4n 2 2 4n
nın alabileceği en küçük değer 3 olarak bulunur.
ALTIN NOKTA 121