Page 123 - og_2_olimpiyat

Acaba, burada iki terim için geçerliliğini fark ettiğin, AO ≥ GO eşitsizliği daha fazla terim için de geçerli
midir? Bu sorunun cevabı: Evet geçerlidir. Seni yormamak için sadece üç terim olduğunda eşitsizliğin
geçerli olduğunun ispatını vereceğim. Ama önce AO, GO ve HO dan sonra tanışmanı istediğim biri
daha var. Az ileride tanışmak için seni bekliyor. Tanışmadan sonra ispata geçelim. 4. Bölüm

Ortalamalardan Aritmetik, Geometrik ve Harmonik olanları daha önceden keşfetmiştik. Hatırlayacak
olursan;

n tane sayının aritmetik ortalaması, bu sayıların toplamının sayı adedine bölümüdür.
x + x + x + ... + x
• x , x , x , ..., x sayılarının A.O. = 1 2 3 n
1 2 3 n n
n sayının geometrik ortalaması, bu sayıların çarpımının n. dereceden köküdür

• x , x , x , ..., x sayılarının G.O. = x . x . x . ... . x
1 2 3 n 1 2 3 n
n tane sayının harmonik ortalaması sayı adedinin, sayıların çarpımsal terslerinin toplamına oranıdır.
n
• x , x , x , ..., x sayılarının H.O. =
1 2 3 n
1 + 1 + 1 + . . .+ 1
x x x x
1 2 3 n 2. ve 3. Dereceden Denklemler-Eşitsizlikler
Bu kısımda gezintimize bir arkadaş daha katılacak. Kendisi çok sık karşılaşmadığın biri olabilir. Ancak
bu bölüm tam da tanışman için ideal bir kısım. Kim olacak tabii ki Karesel Ortalama. Diğer Ortalamaları
zaten tanıyorsun. Şimdi Karesel Ortalama (KO) ile de tanışınca aralarındaki eşitsizliği keşfetmen hiç
zor olmayacak.

Pozitif n tane sayının karesel ortalaması, bu sayıların kareleri toplamının sayı adedine bölümünün kare
köküdür. 2 2 2 2
• x , x , x , ..., x sayıları için bu sayıların karesel ortalaması KO = x + x + x + ...+ x n
1
2
3
1 2 3 n
n
İşte bu karesel ortalamayı da dahil ederek ortalamalar arasındaki eşitsizliği aşağıdaki gibi ifade edece-
ğiz.
KO ≥ AO ≥ GO ≥ HO

Hem daha çok yorulmaman hem de zaman kaybetmemen için sadece bir iki eşitsizliğin doğruluğunu
n = 3 (üç sayı) için izah edip problemlerde nasıl uygulayacağımıza dair örneklere geçelim.

ALTIN NOKTA 123