Page 125 - og_2_olimpiyat

KO ≥ AO ≥ GO ≥ HO

2
x + x 2 + x 2 +... + x 2 x + x + x +... + x n
1 2 3 n ≥ 1 2 3 n ≥ n xx x . . ... . x ≥
.
n n 1 2 3 n 1 + 1 + 1 +... + 1 4. Bölüm
x 1 1 x 2 x 3 x n
Eşitlik durumunda x = x = x = ... = x dir. Yani x = x = x = ... = x ise KO = AO = GO = HO
1 2 3 n 1 2 3 n

Örnek a b c d e
60 a, b, c, d, e pozitif reel sayıları için + + + + toplamının alabileceği en küçük
değer kaçtır? b c d e a

a + b + c + d + e
AGO eşitsizliğinden b c d e a a b c d e yazıp düzenleyelim.
.
.
.
.
Çözüm ≥ 5
5 b c d e a
a + b + c + d + e ≥ 5 5 . a b c d e den a + b + c + d + e ≥ 5 2. ve 3. Dereceden Denklemler-Eşitsizlikler
.
.
.
.
c d e a
b
b c d e a b c d e a a olur. Toplamın alabileceği en kü-

1
çük değer 5 tir.
Örnek 12 18
61 x ve y pozitif reel sayıları için xy + x + y toplamı en az kaça eşittir?

xy + 12 + 18
Bu üç terim için AGO yazalım; x y 12 18 eşitsizliği düzenlediğinde
Çözüm ≥ 3 xy. .
3 x y
.
12 18 12 18
xy + + ≥ 3 3 . xy. den xy + 12 + 18 ≥ 36 olur xy + 12 + 18 toplam en az 18 dir.
.
.
x y xy x y x y
.
Örnek 32
62 Pozitif x reel sayıları için + 4x toplamı en az kaçtır?
x 4

32 ++++
xxxx
AGO eşitsizliğinden x 4 ≥ 5 32 ....
xxxx yazıp düzenleyelim. Bu durumda
Çözüm 5 x 4
32 ++++ 5 5 . 32 .... 32 + 4x ≥ 5 2 olur. Sonuç olarak 32 + 4x toplamı en az 10
xxxx den
xxxx ≥
.
x 4 x 4 x 4 x 4
dur.

ALTIN NOKTA 125