Page 127 - og_2_olimpiyat

Örnek x + y + z + 1 = 4xyz denklemini sağlayan kaç (x, y, z) reel sayı üçlüsü vardır?
4
4
4
66
(UMO - 2006)
A) 0 B) 4 C) 6 D) 10 E) Sonsuz çoklukta 4. Bölüm

Çözüm Eşitliğin sol tarafında değişkenlerin üsleri çift olduğundan toplam pozitif olur. Bu durumda xyz
4
4
x + y + z + 1
4
4
4
4
çarpımı pozitiftir. Buna göre x , y , z , 1 için AGO uygulayalım. ≥ 4 xy z 1.. . eşit-
4
4
4
4
4
x + y + z + 1 4
4
sizliğinden ≥ xyz ve x + y + z + 1 ≥ 4xyz bulunur. Öyle ise x + y + z + 1 = 4xyz
4
4
4
4
4
4
4

4
denklemi bulunan eşitsizliğin özel olarak x = y = z = 1 durumu için mümkündür. Sonuç olarak
4
4
4
4
4
(xyz çarpımının pozitif olduğu da dikkate alınarak) x + y + z + 1 = 4xyz denklemini sağlayan
(1, 1, 1), (-1, -1, 1), (1, -1, -1) ve (-1, 1, -1) biçiminde 4 tane (x, y, z) reel sayı üçlüsü vardır.
Cevap: B 2. ve 3. Dereceden Denklemler-Eşitsizlikler
Örnek 1 1 1
67 n pozitif tam sayısının kaç farklı değeri için x + x + ... + x = 3 ve x + x +...+ x = 3
n
2
1
1 2 n
eşitliklerini sağlayan pozitif x , x , ..., x gerçel sayıları bulunur?
1 2 n
(UİMO - 2006)
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) Sonsuz çoklukta
Çözüm Problemdeki verilerin uygunlugu ile AO ile HO arasındaki eşitsizliği kullanalım;
x + x +... + x n 3 n
2
1 2 n ≥ den ≥ ve 9 ≥ n elde edilir.
n 1 + 1 +... + 1 n 3
x 1 x 2 x n
Karesi 9 a eşit ya da küçük n pozitif tam sayı değerlerinden n = 1 için aynı anda x = 3 ve 1 = 3
1 x
1
eşitlikleri sağlanamayacağı için n pozitif tam sayısının 2 farklı (n = 2 ve n = 3) değeri için istenen
şartlar sağlanır.
Cevap: C
Sanırım yolculuğun bu bölümleri biraz yorucu geçiyor. Öyle olması da normal. Bunca keşfedilen bi-
rikimi taşımak, gezegende ilerledikçe, zorlaşabiliyor. Peki ne yapacağız? Yapılması gereken belli;
pes etmek yok, vaz geçmek yok. Yorulmadan, terlemeden bu yollar aşılmaz. Gayret etmeden elleri
cepte zirvelere çıkılmaz. Ancak sana bir sürprizim var. Şimdilik bu kadar yeter.

ALTIN NOKTA 127