Page 124 - og_2_olimpiyat

KAO

Bu bölümün başlarında kullandığımız bilgiyi x , x , x sayıları için ayrı ayrı kullanalım;
1 2 3
2
2
2
2
2
2
(x - x ) ≥ 0, (x - x ) ≥ 0 ve (x - x ) ≥ 0 için toplama işlemi ile (x - x ) + (x - x ) + (x - x ) ≥ 0 dır.
1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1
2
2
2
2
Parantezleri açarak düzenleyelim; (x - 2x . x + x ) + (x - 2x . x + x ) + (x - 2x . x + x ) ≥ 0 den
2
2
1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 1 1
2
2
2x + 2x + 2x - 2x . x - 2x . x - 2x . x ≥ 0 ve 2x + 2x + 2x ≥ 2x . x + 2x . x + 2x . x elde edilir.
2
2
2
2
1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3 1 2 2 3 3 1
2
Eşitsizliğin iki tarafına x + x + x ekleyerek devam edelim.
2
2
4. Bölüm
1 2 3
2
2
2
2
3x + 3x + 3x ≥ x + x + x + 2x . x + 2x . x + 2x . x ifadesinin düzenlenmesi ile
2
2
1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 1
x + x + x + 2(x . x + x . x + x . x )
2
2

2
3(x + x + x ) ≥ 1 2 3 1 2 2 3 3 1 den (9 ile bölerek)
2
2
2
1 2 3
(x + x + x ) 2
1 2 3
2
2
(x + x + x ) (x + x + x )
2
2
1 2 3 ≥ 1 2 3 elde edilir. Son olarak iki tarafın (pozitif olduğuna dikkat) karekökünü
3 9
2

2

2
3 olur. Bu tam da aradığımız (üç sayı için) karesel ortalama ile arit-
alarak x + x + x x + x + x
3 ≥
2
1
2
1
3 3
metik ortalama arasındaki eşitsizliktir, KO ≥ AO eşitsizliğini kısaca KAO biçiminde göstereceğim. Bu
2
eşitsizliği ispatlamak için en başta kullandığımız (x - x ) + (x - x ) + (x - x ) ≥ 0 ifadesine
2
2
1 2 2 3 3 1
dikkat edecek olursan eşitlik durumu (KO = AO) için x = x = x olması gerektiği anlaşılır.
1 2 3
2. ve 3. Dereceden Denklemler-Eşitsizlikler
AGO
Başlarken; nereden elde edildiğini şimdilik sorgulamadan, fakat eşitliğin doğru olduğunu sağdaki çarpı-
mı yapıp (parantez açarak) görebilirsin, önemli bir özdeşlik olan
a + b + c - 3a . b.c = (a + b + c) (a + b + c - a.b - b . c - c . a) cebirsel ifadesini kullanalım. İşlemleri
3
2
2
2
3
3

garantiye almak için üç sayıyı da pozitif alalım bu durumda a + b + c toplamı pozitif ve
2 . (a + b + c - a.b - b.c - c.a) = (a - 2ab + b ) + (b - 2bc + c ) + (c - 2ca + a ) den
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 . (a + b + c - a.b - b.c - c.a) = (a - b) + (b - c) + (c - a) ≥ 0 olduğu için
2
2
2
2
2
2
a + b + c - a.b - b.c - c.a ≥ 0 dır. Çünkü özdeşliğin sağ tarafındaki çarpım sıfıra eşit yada sıfırdan
2
2
2
büyük olduğuna göre eşitliğin sol tarafı için de aynısı geçerlidir.
2
2
2
a + b + c - 3a.b.c = (a + b + c) (a + b + c - a.b - b.c - c.a) dan a + b + c - 3a.b.c ≥ 0 olur.
3
3
3
3
3
3
> 0 ≥ 0
Özdeşlikte yer alan terimleri a = x , b = x ve c = x olarak değiştirebiliriz.
3
3
3
1 2 3
Buna göre x + x + x - 3 . ñx . ñx . ñx ≥ 0 den x + x + x ≥ 3 . ñx . ñx . ñx ve iki tarafı 3 e
3
3
3
3
3
3
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
x + x + x
3
bölüp düzenleyerek 1 2 3 ≥ x . x . x elde ederiz. Bu eşitsizlik (üç sayı için) aritmetik ortalama
3 1 2 3
ile geometrik ortalama arasındaki eşitsizliktir. AO ≥ GO kısaca AGO eşitsizliği.
Diğer ortalamalar arasındaki eşitsizliklerin ispatını merak edenler 'Hazine Kaynakları'na başvurabilirler.
Bu eşitsizlikleri tekrar hatırlatıp örneklere geçiyoruz. Haydi gel!
124 ALTIN NOKTA