Page 28 - og_2_olimpiyat

Örnek
51 |x - 4| + |x| = 8 denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?
(ÖSS - 2001)

A) 2 B) 4 C) 5 D) 6 E) 10

1. Bölüm
Çözüm x - 4 = 0 dan x = 4 ve x = 0 değerleri için reel sayıları, aralıklara bölerek inceleyelim.
x < 0 için -x + 4 - x = 8 dan -2x = 4 ve x = -2 dir. 0 < x < 4 için - x + 4 + x = 8 den 4 = 8 eşitliği
yanlış olduğundan bu aralıktaki hiçbir x sayısı denklemi sağlamaz. Son olarak x > 4 için denklem
düzenlenirse x - 4 + x = 8 den 2x = 12 ve x = 6 olup denklemi sağlayan x değerleri toplamı
-2 + 6 = 4 tür.
Cevap: B

Örnek 2 |x - 1| - |x + 2| = 6 denkleminin çözümü olan reel sayıların toplamı aşağıdakilerden
52 hangisidir?
(UMO - 1994)

A) 0 B) 2 C) 8 D) 10 E) 12

Çözüm Mutlak değer içlerini sıfır yapan x - 1 = 0 dan x = 1 ve x + 2 = 0 dan x = -2 değerleri için reel sayı-
ları, aralıklara bölelim. x < -2 için 2.(- x + 1) + x + 2 = 6 dan - x = 2 ve x = -2 olur. Burada -2 den
küçük x değerleri için inceleme yapıp x sayısını - 2 bulduğumuzdan denklemde bu değerin eşitliği
sağladığını görüyoruz. -2 < x < 1 için 2.(-x + 1) - x - 2 = 6 dan -3x = 6 ve yine x = -2 bulundu.
Tamam panik yok. Son olarak x > 1 için denklem düzenlenirse 2.(x - 1) - x - 2 = 6 dan x = 10 ve
10 > 1 olup denklemin çözümü olan reel sayıların toplamı -2 + 10 = 8 dir.
Cevap: C

BASİT EŞİTSİZLİKLER – MUTLAK DEĞER (O Kadar Basit Değil)
Örnek
53 |x - 5| + |x + 2| + |x - 1| toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Çözüm Bu sefer işimiz daha uzun sürecek gibi görünüyor. Gerçekten, düşünsene tüm reel sayıları sayı
doğrusu üzerinde gördüğün parçalı aralıklara göre inceleyip her bir durum için

-2 1 5

toplamın alabileceği değerleri bulmak gerekecek filan... Tabii böyle yaparak sonuca ulaşabilece-
ğimiz yerlerde sabırla acele etmeden sırasıyla yapılması gerekenleri yapacağız. Ama ben senin
işini kolaylaştırayım. Aynı yoldan sürekli geçen birinin daha kestirme bir yol bulunca bu kısa yolun
kıymetini bilmesi farklı oluyor; İşte o kısa yol. Bu tür bir toplamda üç mutlak değerli ifadenin içinde
değişkenlerin katsayıları eşit ise toplamın alabileceği en küçük değer, ifadelerin sıfıra eşit olması-
nı sağlayan sayılardan sıralamada ortada olanı için bulunan değerdir.
Buna göre, (-2, 1 ve 5 ten) x = 1 için
|1 - 5| + |1 + 2| + |1 - 1| den toplamın alabileceği en küçük değer 4 + 3 + 0 = 7 dir.

AL
TIN NOKT
28 ALTIN NOKTA
A
28