Page 14 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

1. BÖLÜM ÜÇGENLER - I

1.5 Üçgende Açı-Kenar Bağıntıları

Soru:
ABC üçgeninde IABI>IACI ise, s(ACB)>s(ABC) dir. Kanıtlayınız.

Çözüm
A A 1- IABI>IACI verildiği için [AB] kenarı üzerinde IADI=IACI
olacak şekilde bir D noktası alabiliriz. Bu taktirde ADC
üçgeni ikizkenar olup s(ADC)=s(ACD) bulunur.
2- BDC üçgeninde dış açıdan s(ABC)+s(DCB)=s(ADC) olur
ki buradan s(ACB)>s(ADC)>s(ABC) olduğu anlaşılır.
D
Demek oluyor ki bir üçgende, büyük kenarın karşısındaki
açının ölçüsü, küçük kenarın karşısındaki açının ölçüsün-
B C B C
den daha büyüktür.

Soru:
ABC üçgeninde s(ACB)>s(ABC) ise, IABI>IACI dir. Kanıtlayınız.

Çözüm
A A 1- Olmayana ergi metoduyla gösterelim:
ABC üçgeninin iki kenarı arasında,
i) IABI<IACI ii) IABI=IACI iii) IABI>IACI
bağıntılarından sadece birisi doğru olabilir.
D 2- Bu durumları tek tek inceleyelim.
i) IABI<IACI ise (yukarıdaki bağıntıyı kullanıyo-
B C B C
ruz.) s(ACB)<s(ABC) olmalıdır. Bu ise verilenle
Uyarı: çelişir.
ii) IABI=IACI ise s(ACB)=s(ABC) olmalıdır. Bu da
Bir üçgende; açı-kenar arasındaki bir çelişmedir.
büyüklük sıralaması doğru orantılı,
açı-yardımcı eleman sıralaması iii) İlk iki durum olamadığı için, üçüncü durum mec-
ters orantılıdır. buren gerçeklenir. Nitekim IABI>IACI bulunur.

Soru:
Gösteriniz ki bir noktadan bir doğruya olan en kısa uzaklık, o noktadan doğruya
inilen dik uzaklıktır.
Çözüm
A A 1- Şekildeki d doğrusunu ve A nokta-
sını ele alalım. Bizden IACI<IABI
olduğunu göstermemiz isteniyor.
Burada üstteki çıkarımı kullanabili-
riz; yani ABC dik üçgeninde
s(C)>s(B) iken IACI< IABI dir.

d d
B C B C
13