Page 17 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ

Soru:
ABC üçgeninin kenar uzunlukları a, b, c ise ; olduğunu kanıtlayınız.

Çözüm
1- Üçgen eşitsizliğinden a<b+c ⇒ a+b+c<2(b+c) dir.
Benzer düşünce ile a+b+c<2(a+c) ve a+b+c<2(a+b) olur. O halde

Soru ( 2008 TÜRKİYE ):
Bir üçgenin kenarları a, b, c olsun, eğer a², b², c² uzunluğundaki doğru parçaları bir
üçgen oluşturuyorsa bu üçgene iyi üçgen diyoruz.Aşağıda açıları verilen üçgenler-
den kaç tanesi iyi üçgendir?
(i) 40°,60°, 80° (ii) 10°, 10°, 160° (iii) 110°, 35°, 35°
(iv) 50°, 30°, 100° (v) 90°, 40°, 50° (vi) 80°, 20°, 80°
Çözüm
1- Kenar uzunlukları a, b ve c olan ABC üçgeninin 'iyi üçgen' olması; a², b², c² uzunluklarının da
üçgen belirtmesine (üçgen eşitsizliğine göre a²<b²+c² olmasına) bağlanmış. Bu muhakemeyle
a²=b²+c² ve a²>b²+c² ihtimallerini eleyebiliriz.
2- a²<b²+c² olması ise a, b ve c ile oluşturulan üçgenin dar açılı üçgen olması demektir. Bu çer-
çevede (i) ve (vi) de verilen iki üçgen 'iyi üçgen' olma şartını sağlar.

Yarı çevresi u olan ABCD Soru:
dörtgeninin içerisinde alınan Yarı çevresi u olan ABC üçgeninin içerisinde alınan P noktası için,
P noktası için ise şöyledir: u<IPAI+IPBI+IPCI<2u olacağını gösteriniz.
u<IACI+IBDI<2u ve
IACI+IBDI<IPAI+IPBI+IPCI+IPDI. Çözüm
A A
A

P P
D
P
B C B C
C B C
1- Üçgen eşitsizliğinden

Bu eşitsizlikler taraf tarafa toplanırsa bulunur.
2- P iç nokta olduğuna göre (kırık çizgi uyarısını hatırlayalım.)

Böylece u<IPAI+IPBI+IPCI<2u bağıntısı elde edilir.

16