Page 15 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI
P. 15

100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ


                                   Soru (1965 PUTNAM):
                                  B açısı geniş olan ABC üçgeninde, A açısının ölçüsü C açısının ölçüsünden küçüktür. A
                                  açısının dış açıortayı BC doğrusunu D noktasında, B açısının dış açıortayı AC doğrusu-
                                  nu E noktasında kesiyor. IBAI=IADI=IBEI olduğuna göre, s(A) kaç derecedir?

                                  Çözüm
                                                                  D                                 D

                                                                                                  48°


                                             P
                                                 B                                  B
                                                                                      48°

                                         	     
           	               12°   36°        12°
                                  E                             A                                 A
                                             C                      E          C
                                  1- s(BAC)=2α alarak çözüme başlayalım. IBEI=IBAI verildiği için s(BEA)=2α dır.
                                  2- P ∈ AB olmak üzere, s(PBE)=4α olacağı için s(CBE)=4α ve buradan s(ACB)=6α bulunur. Diğer
                                    taraftan s(DBA)=8α iken s(BDA)=8α olur.
                                  3- [AD] dış açıortay olduğuna göre s(BAD)=90°-α dır. BAD üçgeninde iç açılar toplamından
                                    (8α)+(8α)+(90°-α)=180°⇒ α=6° ve s(BAC)=12° bulunur.

             Çeşitkenar bir ABC
             üçgeninde, A köşesin-  Soru:
             den çizilen yükseklik,
             açıortay ve kenarortay  Bir üçgende yükseklikler toplamı çevreden küçüktür. Bunu nasıl kanıtlarız?
             uzunlukları (YAK) ara-
             sındaki sıralama     Çözüm
             h <n <V şeklindedir.
              a  a  a                     A               A     1- Herhangi bir üçgende, büyük açı karşısında büyük
                                                                   kenar olacağını, biraz önce göstermiştik.  Aynı
                                                                   düşünce ile dik üçgende de hipotenüs, dik kenarlar-
                                                                   dan büyük olur. O halde;
                                                     c
                                     F
                                              E              E
                                                         b h
                                  B       D   C  B           C
          ''Bir üçgende bir kenar uzunlu-
          ğu, diğer iki kenarın uzunlukla-
          rı toplamından küçük, farkının
          mutlak değerinden büyüktür.''  Soru:
          Yani  ABC üçgeninde
                                  ABC üçgeninde IABI+IACI>IBCI olduğunu ispat ediniz.
          Ib-cI<a<b+c dir. Bu eşitsizlik
          üçgen  eşitsizliği diye bilinir.  Çözüm
          Şurada gösterelim:
                                                          D           1- CA doğrusu üzerinde IABI=IADI olacak
          Yandaki ifadeden a<b+c dir.                                   şekilde bir D noktası alınırsa
          Benzer şekilde
                                                                        IDCI=IABI+IACI olur.
          b<a+c→b-c<a ve                      A
                                                                      2- ABD ikizkenarının taban açıları eşit olduğu
          c<a+b→c-b<a ⇒Ib-cI<a                                  A       için, DBC üçgeninde s(B)>s(D) dir.
          yazabiliriz. Böylelikle      c         b                    3- 'Büyük açı karşısındaki kenar daha büyüktür.'
          Ib-cI<a<b+c eşitsizliğini ispatla-                            prensibinden s(B)>s(D) iken IDCI>IBCI olur.
          mış oluruz.             B        a       C   B            C   Buradan IDCI=IABI+IACI>IBCI bulunur.



          14
   10   11   12   13   14   15   16   17   18   19   20