Page 15 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI
P. 15
100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ
Soru (1965 PUTNAM):
B açısı geniş olan ABC üçgeninde, A açısının ölçüsü C açısının ölçüsünden küçüktür. A
açısının dış açıortayı BC doğrusunu D noktasında, B açısının dış açıortayı AC doğrusu-
nu E noktasında kesiyor. IBAI=IADI=IBEI olduğuna göre, s(A) kaç derecedir?
Çözüm
D D
48°
P
B B
48°
12° 36° 12°
E A A
C E C
1- s(BAC)=2α alarak çözüme başlayalım. IBEI=IBAI verildiği için s(BEA)=2α dır.
2- P ∈ AB olmak üzere, s(PBE)=4α olacağı için s(CBE)=4α ve buradan s(ACB)=6α bulunur. Diğer
taraftan s(DBA)=8α iken s(BDA)=8α olur.
3- [AD] dış açıortay olduğuna göre s(BAD)=90°-α dır. BAD üçgeninde iç açılar toplamından
(8α)+(8α)+(90°-α)=180°⇒ α=6° ve s(BAC)=12° bulunur.
Çeşitkenar bir ABC
üçgeninde, A köşesin- Soru:
den çizilen yükseklik,
açıortay ve kenarortay Bir üçgende yükseklikler toplamı çevreden küçüktür. Bunu nasıl kanıtlarız?
uzunlukları (YAK) ara-
sındaki sıralama Çözüm
h <n <V şeklindedir.
a a a A A 1- Herhangi bir üçgende, büyük açı karşısında büyük
kenar olacağını, biraz önce göstermiştik. Aynı
düşünce ile dik üçgende de hipotenüs, dik kenarlar-
dan büyük olur. O halde;
c
F
E E
b h
B D C B C
''Bir üçgende bir kenar uzunlu-
ğu, diğer iki kenarın uzunlukla-
rı toplamından küçük, farkının
mutlak değerinden büyüktür.'' Soru:
Yani ABC üçgeninde
ABC üçgeninde IABI+IACI>IBCI olduğunu ispat ediniz.
Ib-cI<a<b+c dir. Bu eşitsizlik
üçgen eşitsizliği diye bilinir. Çözüm
Şurada gösterelim:
D 1- CA doğrusu üzerinde IABI=IADI olacak
Yandaki ifadeden a<b+c dir. şekilde bir D noktası alınırsa
Benzer şekilde
IDCI=IABI+IACI olur.
b<a+c→b-c<a ve A
2- ABD ikizkenarının taban açıları eşit olduğu
c<a+b→c-b<a ⇒Ib-cI<a A için, DBC üçgeninde s(B)>s(D) dir.
yazabiliriz. Böylelikle c b 3- 'Büyük açı karşısındaki kenar daha büyüktür.'
Ib-cI<a<b+c eşitsizliğini ispatla- prensibinden s(B)>s(D) iken IDCI>IBCI olur.
mış oluruz. B a C B C Buradan IDCI=IABI+IACI>IBCI bulunur.
14