Page 16 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

1. BÖLÜM ÜÇGENLER - I

Soru:
Bir d doğrusunun aynı tarafında bulunan A ve B noktaları için; |PA| + |PB| topla-
mını en küçük yapan d doğrusu üzerindeki P noktasının yerini belirleyiniz.
Çözüm
A 1- A,B ∉ d ve P∈ d alalım. PAB üçgeninde
üçgen eşitsizliğinden IABI<IPAI+IPBI dir.
A 2- BB' ⊥ d, H∈ d ve IBHI=IHB'I olsun. Bu
şartlar altında IBPI=IB'PI olur. (Neden?)
B Bu durumda IBPI+IPAI=IB'PI+IPAI=IB'AI
İskenderiyeli Heron,
ışığın en kısa yoldan dır.
B d
gittiğini ve ışığın yan- H P 3- AB' ∩ d={P} olarak seçildiğinde
sımasında geliş ve |PA|+|PB| toplamı yani IAPI+IPB'I topla-
d
yansıma açılarının P mı en küçük değerini alır. (ki bu değer
eşit olduğunu bul- B' IAB'I ne eşittir.) O halde A, P ve B' nok-
muştur. Biz de yan- talarının doğrusal olması gerekmektedir.
daki iki soruyu,
Heron’un bulduğu
teknikle çözüyoruz.

Soru:
Bir d doğrusunun aynı tarafında bulunan A ve B noktaları için; |TA| - |TB| farkını
en büyük yapan d doğrusu üzerindeki T noktasının yerini belirleyiniz.
Çözüm

A A 1- AB ∩ d={T} olduğunda mümkündür, şimdi
bunu ispatlayalım. Öncelikle d doğrusu üze-
rinde alınan herhangi bir T' noktası için,
ABT' üçgeninde IAT'I-IT'BI<IABI olduğunu
B B belirtelim. Şu halde IAT'I-IT'BI farkının en
büyük değeri IABI den küçüktür.
d d 2- Oysa T noktasını; A, B, T noktaları doğrusal
T' T
olacak şekilde planladığımızda
IATI-ITBI=IABI olmaktadır. Bu, farkın en
büyük değerini aldığı durumdur. Yani, ABT
nin doğrusal olması gerekmektedir.

Üçgen içerisinde alınan
ve iki köşeyi birleştiren
belirli sayıdaki doğrusal Soru:
kırık çizginin uzunlukları
toplamı, üçgenin diğer Bir ABC üçgeninin içerisinde alınan P noktası için; IBCI<IPBI+IPCI<IABI+IACI ola-
iki kenarının uzunlukları cağını gösteriniz.
toplamından küçüktür. Çözüm
Yani
IBCI<IBPI+IPTI+ITCI 1- [CP ışını [AB] kenarını K noktasında kessin. AKC üçge-
< IABI+IACI dir. ninde üçgen eşitsizliğinden, IKCI<IACI+IAKI dır.
IKCI=IKPI+IPCI den IKPI+IPCI<IACI+IAKI...(1) olur.
2- BKP üçgeninde ise IBPI<IPKI+IKBI ...(2) yazılabilir.
3- (1) ve (2) deki eşitsizlikler taraf tarafa toplanırsa,

15