Page 19 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ
P. 19
18 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları
2
i) E˘ ger − − =0 denkleminin 1 ve 2 gibi iki reel kökü varsa,
= 1 + 2
1 2
olur.
2
ii) E˘ ger − − =0 denkleminin bir tek kökü varsa, yani kökler çakı¸sıksa
= 1 + 2 2
1
olur.
2
iii) E˘ ger − − =0 denkleminin kökleri sanal ise, yani ∆ 0 ise, köklerin
1 = (cos + sin ) ve 2 = (cos − sin )
biçimindeki kutupsal yazılı¸sına göre,
= ( 1 cos ()+ 2 sin ())
olur. i), ii) ve iii)’te verilen 1 ve 2 reel sayılarını, dizinin herhangi iki elemanının
verilmesi durumunda bulmak mümkündür.
I Aritmetik, Geometrik ve Harmonik Ortalamalar Arasındaki E¸sitsizlikler
1 2 negatif olmayan sayılar olsun.
Aritmetik Ortalama (A.O.) : 1 2 sayılarının aritmetik ortalaması :
1 + 2 + ·· · +
biçimindedir.
Geometrik Ortalama (G.O.) : 1 2 ··· sayılarının geometrik ortalaması,
√
1 2 3 ···
biçimindedir.
Harmonik Ortalama (H.O.) : 1 2 ·· · sayılarının harmonik ortalaması,
1 + 1 + ·· · + 1
1 2
biçimindedir.
I Pozitif sayıların, Aritmetik, Geometrik ve Harmonik ortalamaları arasında
A.O.≥G.O.≥H.O. e¸sitsizli˘ gi vardır. Ortalamaların herhangi ikisinin e¸sitli˘ gi, sadece,
1 = 2 = ·· · = durumunda mümkündür.
Örnek : A.O. ≥ G.O. e¸sitsizli˘ ginden, her pozitif 1 için,
³ ´
( 1 + 2 + ··· + ) 1 + 1 + ··· + 1 ≥ 2
1 2
elde edilir. Yine, A.O. ≥ G.O. e¸sitsizli˘ ginden, pozitif sayıları için
+ ≥ 2
elde edilir.
