Page 148 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

1996 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri

1. 11 100 −1 sayısının sonunda kaç tane sıfır vardır?
Çözüm :
11 100 =(10 + 1) 100
1
1
=10 100 + 100 · 10 99 · 1 + ·· · + 100 · 10 · 1 99 +1 100
oldu˘ gundan 11 100 − 1 sayısının sonunda tam 3 tane sıfır vardır.

2. S =1 · (1!) + 2 · (2!) + 3 · (3!) + ... +10 · (10!) sayısının en sade hali
nedir?
Çözüm :  · != ( +1 − 1) · !=( +1)! − ! oldu˘ guna göre,
10 10
X X
 =  · != [( +1)! − !]
=1 =1
=(2! − 1!) + (3! − 2!) + ··· + (11! − 10!) = 11! − 1
bulunur.

3. Bir sınıftaki kız ö˘ grencilerin sayısı tüm ö˘ grencilerin sayısının % 50’sinden az,
% 40’ından fazladır. Bu sınıfta en az kaç ö˘ grenci vardır?
Çözüm : ,tüm ö˘ grencilerin ve , kızların sayısı olsun. Biz,
2  1
 
5  2
e¸sitsizli˘ gini sa˘ glayan en küçük ’yi bulmalıyız. Bunun için, pozitif     sayıları
için iyi bilinen
  +  
 
  +  
2 3 1
e¸sitsizli˘ gini gözönüne alarak,   buluruz. ¸Simdi, ’ye 2’den 7’ye kadar
5 7 2
 3
de˘ gerler vermekle e¸sitsizli˘ gi yalnız = ’nin sa˘ glayaca˘ gını görebiliriz. Dolayısıyla,
 7
kızların sayısı en az 7’dir.
4. |x| + |y| < 20 e¸sitsizli˘ ginin tam sayı çözümlerinin sayısı kaçtır?
Çözüm : || + || ≤ 20 e¸sitsizli˘ ginde,
 =0 olursa, ||  20 e¸sitsizli˘ gini sa˘ glayan 2 · 19 + 1 = 39 çözüm vardır ve
 =0 olursa, ||  20 e¸sitsizli˘ gini sa˘ glayan 39 çözüm vardır.
(0 0) çözümü iki kez sayıldı˘ gından, e¸sitsizli˘ gin  ·  =0’ı sa˘ glayan tam çözümleri
sayısı 2 · 39 − 1=77’dir.