Page 149 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

148 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları

¸ Simdi · 6=0’ı sa˘ glayan çözümlerin sayısını bulalım. ( ) ikilisi çözüm oldu˘ gunda,
(− ) ( −) ve (− −) ikilileri de çözüm olaca˘ gından, sadece 1 ≤  ≤ 18
ve 1 ≤  ≤ 18 e¸sitsizliklerini sa˘ glayan ( ) çözümlerinin sayısını bularak 4 ile
çarparız. Böylece, e¸sitsizli˘ gin pozitif ( ) çözüm ikililerinin sayısı:
1+18 18 · 19
18 + 17 + 16 + ··· +3+2+1 = · 18 =
2 2
olur. Dolayısıyla, e¸sitsizli˘ gin tüm çözümlerinin sayısı:
18 · 19
77 + 4 · =77 + 2 · 18 · 19 = 77 + 684 = 761
2
olarak bulunur.

5. Dört sayının iki¸ser­iki¸ser toplanmasıyla elde edilen altı sayı küçükten büyü˘ ge
do˘ gru dizilince dizili¸sin ilk dört terimi 1, 5, 8, 9 oluyor. Son terim nedir?
Çözüm : Sayılar  1 ≤  2 ≤  3 ≤  4 olsun. Biz ( 3 +  4 )’ü bulmak istiyoruz.
 1 +  2 =1 1 +  3 =5
oldu˘ gu bellidir. Buna göre iki durum olabilir.
 1 +  4 =8 2 +  3 =9 veya  1 +  4 =9 2 +  3 =8
Söz konusu iki durumda da
 1 +  2 +  3 +  4 =17
olur.  1 +  2 =1 oldu˘ gundan dolayı  3 +  4 =16 olmalıdır.

6. Ay¸se, Bilge, Canan ve Deniz adlı dört kız bir konser verdiler. Konserde her
¸ sarkıyı 3 kız birlikte okudular. En çok ¸sarkıyı Ay¸se okudu: 8 ¸sarkı. En az ¸sarkıyı
Bilge okudu: 5 ¸sarkı. Konserde toplam kaç ¸sarkı okunmu¸stur?
Çözüm : Kızları, adlarının ba¸s harfleriyle A,B,C,D diye adlandıralım. Her ¸sarkı
bittikten sonra o ¸sarkıyı okuyan kızlara birer ¸seker verildi˘ gini varsayalım ve ¸seker­
lerin toplam sayısını bulalım. ¸Sekerler sayısının, ¸sarkılar sayısının üç katı oldu˘ gunu
görmek zor de˘ gildir. B, en az (yani 5) ve A, en çok (yani 8) ¸sarkı okudu˘ gundan, C ve
D’nin okudukları ¸sarkılar sayısı (6,6), (6,7) ve (7,7) ikililerinden biri olabilir. ¸Sekerler
sayısı 3 ile bölünebildi˘ ginden, yalnız bir hal mümkündür: (7,7). Böylece, ¸sekerler
sayısı 5+7+7+8 = 27 ve ¸sarkılar sayısı 273=9 olmalıdır.

7. 1996 sayısı iki pozitif tam sayının toplamı olarak kaç farklı ¸sekilde yazılabilir?
(Not: a+b ve b+a yazılı¸slarını farklı kabul ediyoruz.)
Çözüm : Her bir ( + ) açılımı, birinci  toplananıyla belirleniyor ve  sayısı
1996’dan küçük keyfi pozitif tamsayı sayı olabilir. Yani,  =1 2  1995.Öyleyse,
( + ) açılımları sayısı 1995 tir.