Page 152 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

1996 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 151

14. a, b, c, d reel sayılar, 0 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ d ve a + b + c + d =4 ise, b + c
ifadesinin alabilece˘ gi en büyük de˘ ger nedir?
Çözüm : (+)’nin maksimum de˘ gerini alabilmesi için  =0 olmalıdır. Aksi halde,
yani,  0 oldu˘ gunda, 0  ≤  ≤  ≤  ve  +  +  +  =4 ko¸sullarını
sa˘ glayan     için
   
 1 = ,  1 =  + ,  1 =  + ve  1 =  +
4 4 4 4
sayıları da aynı ko¸sulları sa˘ glarlar ve bunun yanısıra,  1 + 1 + olur. Dolayısıyla,
 +  ’nin en büyük de˘ gerini alması için  =0 olmalıdır. Böylece,
4 4 8
 =0 ⇒  +  +  =4 ⇒  ≥ ⇒  +  ≤ 4 − =
3 3 3
4 8
olur. Di˘ ger taraftan,  =  =  = alınırsa,  +  = elde edilir.
3 3
15. Bir kareli k⢠gıt üzerindeki karelerin kö¸se noktalarına kafes noktaları denir.
Kenar uzunlu˘ gu 1 cm olan küçük karelere bölünmü¸s, 204 × 272 cm boyut­
larında dikdörtgen biçiminde bir kareli k⢠gıt dü¸sününüz. Kafes noktaları bu
dikdörtgenin kö¸segenini kaç parçaya böler?
Çözüm : Kö¸segenin denklemi
y 204 3 · 68 3
 =  =  = 
272 4 · 68 4
204 oldu˘ gundan dolayı,

 =4 · 1 =4 · 2,  =4 · 68
oldu˘ gunda  bir tam sayı olur. Böylece, kö¸segen
O 272 x üzerinde, koordinat ba¸slangıcı hariç, tam
68 = OBEB(204 272)
kafes noktası var. Öyleyse, kö¸segen 68 parçaya bölünecektir.

16. Üç avcı bir hedefe ate¸s ediyorlar. Bu avcılardan birincisinin hedefi vurma
olasılı˘ gı 1/2, ikincisinin hedefi vurma olasılı˘ gı 1/3 ve üçüncüsünün hedefi vurma
olasılı˘ gı 1/4’tür. Bu avcılar üçü birden aynı hedefe birer kez ate¸settiklerinde
hedefe tam iki vuru¸sun isabet etme olasılı˘ gı nedir?
Çözüm :
Avcıların hedefi vurma olayları, sırasıyla,    olsun. Bu durumda,
1 1 3 1 1 1 1 2 1
0
 ( ∪   ∪  )= · · + · · + · ·
0
0
2 3 4 2 3 4 2 3 4
1
=
4
olur.