Page 150 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

1996 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 149

8. (x − 1)(x − 2)(x − 3) ··· (x − 99)(x − 100) ifadesinde parantezler açılarak
x 100 +a 1 x 99 +a 2 x 98 + ··· + a 99 x + a 100
polinomu elde ediliyor. a 1 katsayısı kaçtır?
Çözüm :
( − 1)( − 2)( − 3) ··· ( − 99)( − 100)

ifadesinde parantezler açılıp da sadele¸smeden önce  un katsayılarına bakalım:
99
−1 ·  ·  ···  +  ·(−2) ·  ·  ···  +  ·  · (−3) ·  ·  ···  + ·· · +
| {z } |{z} | {z } |{z} | {z }
99 tane 1 tane 98 tane 2 tane 97 tane
99
+ ·  ···  ·(−100) =  (−1 − 2 − ·· · − 100)
| {z }
99 tane
1 + 100
99
= − 100 99 = −5050 
2
Buradan  1 = −5050 bulunur.
½
x + y + z =68
9. x<y < z asal sayıları denklem sistemi­
x · y + y · z + z · x =1121
nin bir çözümü ise, y · z çarpımı kaçtır?
Çözüm :  +  +  =68 denklemine göre  =2 olmalıdır. (çünkü, üçü de tek sayı
olamaz). Böylece,
¾
 +  =66
2( + )+  ·  = 1121
olur. Buradan, 2 · 66 +  ·  = 1121 ve  ·  = 1121 − 132 = 989 bulunur.

10. Matematik Olimpiyatında 20 soru sorulmu¸stur. De˘ gerlendirmede, her do˘ gru
çözülmü¸s soru için 8 puan veriliyor, her yanlı¸sçözülmü¸s soru için 5 puan geri
alınıyor ve hiç çözülmemi¸s soru için de 0 puan veriliyor. Olimpiyada katılan bir
ö˘ grenci, bu de˘ gerlendirmeye göre 13 puan almı¸ssa, kaç tane problemi (do˘ gru
veya yanlı¸s) çözmü¸stür?
Çözüm : Do˘ gru çözülmü¸ ssorusayısı  olsun, yanlı¸s çözülmü¸ssorusayısı  olsun.
Problemin ko¸sulu gere˘ gi, 8 − 5 =13’tür. Buradan,  0 =1 0 = −1 sayılarının
bir özel çözüm oldu˘ gu görülür. Genel çözüm
 =1 + 5  = −1+8
biçimindedir.
 +  =13 ≤ 20
oldu˘ gundan,  =1 +  =13 =6 ve  =7 bulunur.