Page 151 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

150 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları

11. Bir geometrik dizinin m’inci terimi 27, n’inci terimi 8, p’inci terimi de 12
oldu˘ guna göre m, n ve p arasında bir ba˘ gıntı bulunuz.
Çözüm : Bu geometrik dizinin ’inci terimi 27, ’inci terimi 8, ’inciterimide 12
oldu˘ guna göre,
27 =  1  −1  8=  1  −1 ve 12 =  1  −1
27 27
e¸sitlikleri vardır. Buradan, =  − ve =  − oldu˘ gundan,
8 12
2
3
(32) =  − ve (32) =  −
bulunur. Demek ki,
 −   − 
=
3 2
ve dolayısıyla  +2 =3’dir.

12.A¸sa˘ gıdaki be¸s diziden kaç tanesinin limiti vardır?
I. 1, 1, 1, ..., 1, ...
1 1 1 1
II. 0, 1, 0, , 0, , ..., 0, , 0, ,...
2 3 n n +1
III. (0, 2), (0, 22), (0, 222), (0, 2222) , ...
sin 1 sin 2 sin 3 sin n
IV. , , , ..., , ...
1 2 3 n
µ ¶
3 −2 5 −4  1
V. 0, , , , , ..., (−1) + , ...
2 3 4 5 n
Çözüm : V. dı¸sında, dizilerin hepsinin limiti vardır.

13. 33 farklı nesne, her ki¸siye 11’er nesne dü¸smek üzere, üç ki¸siye kaç farklı
¸ sekilde payla¸stırılabilir?
µ ¶
33
Çözüm : Ki¸silerden birisine 11 nesne farklı ¸sekilde veriliyor. Geriye kalan
11
µ ¶
22
33−11 = 22 nesne de 2 ki¸si arasında (her birine 11’er tane olmak üzere) farklı
11
¸ sekilde verilebilir. Böylece, sorunun cevabı
µ ¶µ ¶
33 22
11 11
olarak bulunur.