Page 154 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

1996 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 153

19. ABC ikizkenar üçgeninde |AB| = |AC| ve CABaçısı 20 dir. [AB] kenarı
◦
b
üzerinde, BCDaçısı 50 olacak biçimde bir D noktası ve [AC] kenarı üzerinde,
◦
b
CBE açısı 60 olacak biçimde bir E noktası alınıyor. DEB açısı kaç derecedir?
◦
b
b
Çözüm : E den [BC]’ye çizilen paralelin [AB]’yi
kesti˘ gi nokta F ve [BE] ∩ [CF] = G olsun. Bu du­ A
4 20
rumda, FGE ve BCG e¸skenar üçgenler olur. DBC
üçgeni ikizkenar oldu˘ gundan |BD| = |BC| = |BG| ve
böylece,
m(DGF ) = 180 − (60 +80 )= 40 ◦
◦
◦
◦
b
E
F
olur. m(BFC) = 40 oldu˘ gundan, |FD| = |DG|’dir. O 40
◦
b
halde, FDGE bir deltoiddir ve dolayısıyla, D G
50
m(FED) = m(GED) = 30 ◦
b
b
bulunur. 20
60 50
B C
20.
¸ Sekilde yarıçapı R ve r (R> r) olan
iki çember A noktasında birbirine te˘ get­
tir. Büyük çember üzerinde alınmı¸sbir B
R r noktasından küçük çembere C noktasında
A
te˘ get olan bir do˘ gru çizilmi¸stir. |AB| = a
ise, |BC| kaçtır?
C Çözüm : B ve A’dan geçen do˘ grunun
B küçük çemberle ikinci kesi¸sim noktasına D
diyelim. AO 1 BveAO 2 D üçgenleri benzer
D
üçgenler olduklarından,
r
A |AD|  
O 1
O 2 = ve |AD| =  ·
R |AB|  
olur. Öte yandan,
C
2
B |BC| = |BA|·|BD|
oldu˘ gundan,
³  ´ ³  ´
2 2
|BC| = ·|BD| = ( |BA| + |AD| )= ·  +  · =  · 1+
 
ve
r

|BC| =  · 1+

elde edilir.