Page 155 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

1997 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri

1. 1001 ile aralarında asal olan üç basamaklı bir sayının 12 pozitif böleni vardır.
Bu sayının yan yana yazılmasıyla elde edilen altı basamaklı sayının kaç pozitif
böleni olacaktır?
1
1
Çözüm : Sayı  olsun.  =  · 1001 e¸sitli˘ ginden ve 1001 = 7 · 11 · 13 1
olmasından yararlanarak, altı basamaklı sayının tüm pozitif bölenlerin sayısı 12 · 2 ·
2 · 2= 96 olarak bulunur.

2. Üç basamaklı bir sayının orta rakamı silinince elde edilen iki basamaklı sayı
verilen sayıdan 7 defa daha küçük oluyor. Verilen sayının rakamları toplamı
kaçtır?
Çözüm : Sayı  olsun. 7 ·  =  e¸sitli˘ ginden
7(10 + ) = 100 +10 + 
ve buradan 3 =5 (3 + ) elde edilir. Bu denklemin çözümünden

 =5 =1 ve  =0
bulunur. Yani, istenen sayı  = 105 ve rakamları toplamı 6’dır.

3. Bir kart üzerinde a¸sa˘ gıdaki dört önerme yazılmı¸stır :
Bu kart üzerindeki dört önermeden sadece biri yanlı¸stır.
Bu kart üzerindeki dört önermeden sadece ikisi yanlı¸stır.
Bu kart üzerindeki dört önermeden sadece üçü yanlı¸stır.
Bu kart üzerindeki dört önermenin dördü de yanlı¸stır.
Kart üzerinde yazılmı¸s olan yanlı¸s önermelerin sayısı kaçtır?
Çözüm : Do˘ gru önermelerin sayısı 1’den fazla olamaz (çünkü herhangi iki önerme
birbiriyle çeli¸siyor). Do˘ gru önermeler sayısı 1’den az, yani, sıfır da olamaz. Çünkü
bu halde önermelerin hepsi yanlı¸s olmalıdır. Fakat önermelerin hepsinin yanlı¸solması
karttaki son önermenin do˘ gru olması demek oluyor ki, bu da bir çeli¸skidir. Böylece,
sadece bir hal mümkündür: Do˘ gru önerme sayısı 1’dir ve dolayısıyla, yanlı¸s önerme
sayısı 4 − 1=3’tür (yani, karttaki üçüncü önerme do˘ grudur).

4. (x + y + z) 18 ifadesinin açılımında kaç terim vardır?

Çözüm : ( 1 +  2 + ·· · +   ) ifadesindeki terim sayısını bulmak için,  özde¸s
kalemin  ki¸siye kaç farklı ¸sekilde da˘ gıtılabilece˘ gini hesaplamak yeterlidir. Buna

göre, ( 1 +  2 + ·· · +   ) ifadesinin açılımında, ¡ +−1 ¢ terim vardır. Böylece,
−1
¢
¡
( +  + ) 18 ifadesinin açılımında, 18+3−1 = 190 terim vardır.
3−1