Page 20 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ
P. 20
Ön Bilgiler 19
I Cauchy Schwarz E¸sitsizli˘ gi
1 2 1 2 reel sayılar olmak üzere,
2 ¡ 2 2 2 ¢¡ 2 2 2 ¢
( 1 1 + 2 2 + ··· + ) ≤ + + ·· · + + + ·· · +
1
2
2
1
e¸sitsizli˘ gi sa˘ glanır. Bu e¸sitsizli˘ ge Cauchy Schwarz e¸sitsizli˘ gi denir.
Örne˘ gin, reel sayıları için,
2 ¡ 2 2 ¢¡ 2 2 ¢
( + ) ≤ + +
veya
√ p
2
2
+ ≤ + 2 + 2
biçiminde yazılabilir. Bu e¸sitsizlik, ortalamalar e¸sitsizli˘ gi gibi, en küçük ve en büyük
de˘ gerlerin bulunması gereken birçok problemde kullanılabilir.
Bu e¸sitsizlikte ve sayıları özel olarak 1 alınırsa, Aritmetik Karesel ortalama
e¸sitsizli˘ gi olarak bilinen
r 2 2
+ +
≥
2 2
e¸sitsizli˘ gi elde edilir. Bu e¸sitsizlik üç terimli olarak yazılırsa,
r 2 2 2
+ + + +
≥
3 3
olur.
I CauchySchwarz e¸sitsizli˘ gini de˘ gi¸sik formlarda kullanabiliriz. 1 2
1 2 reel sayılar olmak üzere,
2 ¡ 2 2 2 ¢¡ 2 2 2 ¢
( 1 1 + 2 2 + ··· + ) ≤ + + ·· · + + + ·· · +
2
1
2
1
Cauchy Schwarz e¸sitsizli˘ ginde, yerine √ ve yerine de √ alınırsa,
√ √ √ 2
( 1 1 + 2 2 +··· + ) ≤ ( 1 + 1 + ·· · + )( 1 + 2 + ··· + )
elde edilir. Bazen CauchySchwarz e¸sitsizli˘ ginin bu versiyonunu kullanmak daha
uygun olabilir.
1 1
Örne˘ gin, 1 = = alınırsa,
1
µ ¶
1 1 1
( 1 + 2 + ··· + ) + + ··· + ≥ 2
1 2
e¸sitsizli˘ gi elde edilir.
