Page 21 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ
P. 21
20 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları
I Yeniden Düzenleme veya Permütasyon E¸sitsizli˘ gi
Söz konusu e¸sitsizlik, çok kolay ve kullanı¸slı bir e¸sitsizliktir. ¸Simdi bu e¸sitsizli˘ gi ifade
edelim.
1 ≤ 2 ≤ ··· ≤ ve 1 ≤ 2 ≤ ·· · ≤ olmak üzere, ( 1 2 ) ve
( 1 2 ) sıralı lilerini göz önüne alalım.
= 1 1 + 2 2 + ·· · +
toplamına sıralı toplam ve
= 1 + 2 −1 + ··· + 1
toplamına da ters toplam denir. E˘ ger, 1 2 sayıları, 1 2 sayılarının
bir pemütasyonu ise, yani yeniden düzenlenmi¸s bir hali ise,
= 1 1 + 2 2 + ·· · +
toplamına da karı¸sık toplam denir. Bu toplamlar arasındaki,
≥ ≥
e¸sitsizli˘ gine permütasyon e¸sitsizli˘ gi veya yeniden düzenleme e¸sitsizli˘ gi denir. Böylece,
sıralı toplam, karı¸sık toplamdan ve karı¸sık toplam da ters toplamdan küçük olamaz.
I Chebysev e¸sitsizli˘ gi
1 ≤ 2 ≤ ··· ≤ ve 1 ≤ 2 ≤ ·· · ≤ olmak üzere, ( 1 2 ) ve
( 1 2 ) sıralı lilerini göz önüne alalım.
= 1 1 + 2 2 + ··· + ve = 1 + 2 −1 + ··· + 1
toplamlarını olu¸sturalım. Chebysev e¸sitsizli˘ gi,
( 1 + 2 + ··· + )( 1 + 2 + ··· + )
≥ ≥
olarak ifade edilir.
I Konveks fonksiyon : : → R fonksiyonu, her ∈ ve ∈ [0 1] için,
( +(1 − ) ) ≤ ()+(1 − ) ()
e¸sitsizli˘ gini sa˘ glıyorsa, bu fonksiyona konveks fonksiyon denir. Konveks fonksiyonu
belirlemenin en kolay yolu, ikinci türev testidir : () ≥ 0 olan bir aralıkta, ()
00
fonksiyonu konvekstir. Ayrıca, yukarıdaki e¸sitsizlikte e¸sitlik durumunu sa˘ glayan
de˘ geri yoksa, fonksiyon kesin konveks olur. Yani, verilen aralı˘ gında 0 ise,
00
( +(1 − ) ) ()+(1 − ) ()
e¸sitsizli˘ gi, her ∈ ve ∈ (0 1) için sa˘ glanır.
Konkav fonksiyon : : → R fonksiyonu, her ∈ ve ∈ [0 1] için,
( +(1 − ) ) ≥ ()+(1 − ) ()
e¸sitsizli˘ gini sa˘ glıyorsa, bu fonksiyona konkav fonksiyon denir. () ≤ 0 olan bir
00
aralıkta, () fonksiyonu konkavdır.
