Page 22 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ
P. 22
Ön Bilgiler 21
Jensen E¸sitsizli˘ gi :
(): → R fonksiyonu ile 1 2 ∈ ve 1 + 2 + ·· · + = olmak
üzere, 1 2 pozitif reel sayılarını göz önüne alalım.
i) () bir konveks fonksiyonsa,
µ ¶
1 1 + 2 2 + ·· · + 1 ( 1 )+ 2 ( 2 )+ ··· + ( )
≤
e¸sitsizli˘ gi sa˘ glanır.
ii) () fonksiyonu konkav oldu˘ gunda ise e¸sitsizlik,
µ ¶
1 1 + 2 2 + ·· · + 1 ( 1 )+ 2 ( 2 )+ ··· + ( )
≥
biçiminde yön de˘ gi¸stirir. Bu e¸sitsizlikler klasik ispatı daha zor olan bir çok e¸sitsizli˘ gin
kolayca ispatlanmasına olanak verir.
Özel olarak, 1 = 2 = ·· · = = alınırsa, konveks fonksiyonlar için
µ ¶
1 + 2 + ·· · + ( 1 )+ ( 2 )+ ··· + ( )
≤
e¸sitsizli˘ gi elde edilir.
I Genelle¸stirilmi¸s Aritmetik Geometrik Ortalama E¸sitsizli˘ gi
1 2 ≥ 0 ; 1 2 0 ve 1 + 2 + 3 + ··· + = olsun. O halde,
1 1 + 2 2 + ·· · + p 1 2
≥ 2 ···
1
e¸sitsizli˘ gi sa˘ glanır. 1 + 2 + 3 + ·· · + =1 olursa,
1 2
1 1 + 2 2 + ··· + ≥ 2 ···
1
elde edilir. Özel olarak 1 = 2 = ·· · = = olursa, klasik A.O. ≥ G.O.
e¸sitsizli˘ gi elde edilir.
I Schur E¸sitsizli˘ gi
negatif olmayan reel sayılar ve ≥ 0 veya ≤−1 olmak üzere,
( − )( − )+ ( − )( − )+ ( − )( − ) ≥ 0
e¸sitsizli˘ gi sa˘ glanır. E¸sitlik, = = durmunda mümkündür.
