Page 390 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2019 Sınav Sorularının Çözümleri 389

|| = || olur. O halde, ∠ = ∠ =30 ve dolayısıyla,
◦
◦
◦
∠ =30 − 12 =18 ◦
◦
◦
◦
◦
olur. ∠ =84 oldu˘ gundan, ∠ = 1 (180 − 84 )= 48 ve dolayısıyla
2
∠ =48 − (18 +12 )= 18 ◦
◦
◦
◦
bulunur. Buradan, ∠ = 120 ve
◦
◦
∠ = ∠ = 180 − 2 · 30 = 120 ◦
◦
oldu˘ gundan, 4 ve 4 üçgenleri, ortak [] kenarına biti¸sik açıların e¸sitli˘ gin­
den dolayı, e¸s üçgenlerdir. O halde, || = || olup,
∠ = 1 (180 − 36 )= 72 ◦
◦
◦
2
bulunur.
12. m ve n pozitif tamsayılarının en büyük ortak bölenini (m, n) ile gösterelim.
Buna göre, (1, 120)+(2, 120)+(3, 120)+(4, 120)+ ··· +(120, 120) toplamı
kaçtır?
3 3
Çözüm: 120 = 2 ·3·5 oldu˘ gundan OBEB tanımına göre, ( 120) = ( 2 )·( 3)·
( 5) yazılabilir. Buna göre,
120 120
X X 3
( 120) = ( 2 ) · ( 3) · ( 5)
=1 =1
= (1+2+1+4+1+2+1+8) (1+1+3) (1+1+1+1+5) = 900
olur.
13. O˘ guz, ö˘ gretmeninin telefon numarasını bir k⢠gıda yazıyor ve cebine koyuyor.
Fakat k⢠gıdı cebinden çıkardı˘ gında, ¸sekildeki gibi altı rakamın tamamen silindi­
˘ gini görüyor. Hatırladı˘ gı tek ¸sey, telefon numarasındaki bulunan her bir rakamın
en az iki kez bulundu˘ gudur. Ayrıca, O˘ guz silinen rakamların 0, 5, 6, 7, 8 ol­
madı˘ gından ve hepsinin aynı rakam olmadı˘ gından da kesinlikle emindir. Buna
göre, O˘ guz’un ö˘ gretmeninin telefon numarası kaç farklı numara olabilir?

505 0

˙
Çözüm: Soruda verilenlere göre, silinen yerdeki rakamlar 1, 2, 3, 4, 9 olabilir. Iki
durum vardır.
1. Durum: Silinen yerde sadece 2 farklı rakam kullanılmı¸s olabilir. Bu durumda,
¡ ¢
5
öncelikle 5 rakam arasında, kullanılmı¸solanrakamlar =10 farklı ¸sekilde seçilebilir.
2
6
Bu rakamlar, 3’er 3’er kullanıldıysa, ¡ ¢ = 20; 2’ye 4 ¸seklinde kullanılmı¸sise,
¡ ¢ 3
6
2 2 =30 durum vardır. Yani, 2 rakam kullanılması durumunda 10 (20 + 30) = 500
numara olabilir.