Page 374 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 373

Kenarları a ve b cm (a < b ) olan F Üçgende ve Dörtgende Alan Formülü F
paralelkenarın uzun kenarlarına dik olan bir
do˘ gru, paralelkenarı öyle iki yamu˘ ga bölüyor ki, Üçgende herhangi iki kenar ile aralarındaki açının
bu yamuklardan her ikisine de içte˘ get çember sinüsü çapılarak yarısı alınırsa alan bulunur. Dörtgende
çizilebiliyor. Bu durumda, paralelkenarın dar ise alan, kö¸segenler ve kö¸segenler arasındaki açının
açısının sinüsü kaçtır? sinüsü çarpılıp yarısı alınarak bulunur.

x b - x

a h
a
θ
b - x x
Paralelkenarın yüksekli˘ gi h olsun. ¸Sekilden
görülebilece˘ gi gibi,
a + h = x + (b x) = b
olmalıdır (içte˘ get çembere sahip dörtgenin özelli˘ gi).
Böylece, h = b a olur. Dolayısıyla,
h b a b
sin = = = 1
a a a Kenarları 8, 8 ve 12 olan bir ABC
bulunur. üçgeninde, e¸sit kenarlardan biriyle, farklı kenarı
kesen bir d do˘ grusu üçgeni hem alanları e¸s hem de
çevreleri e¸s iki parçaya ayırmaktadır. Buna göre,
küçük üçgenin kenarlarını bulunuz.
A

y
x
(U ˙ IMO - 1999) E d
D

ABC dik üçgeninde m(B) = 90 ; jBCj = 28; 8-x 12-y
b
B C
jACj = 100 ve D noktası da [AB] üzerinde olmak
üzere jBDj = 21 ise, sin(ACD) =?
b
Alanların e¸sitli˘ ginden,
¸ Sekildeki gibi çizebiliriz. Buradaki püf 1 x y sin A
nokta, [CD]’nin açıortay olmasıdır. Bunu, A (ADE) = 2 = 1
100 28 4 A (ABC) 1 8 12 sin A 2
= = 2
75 21 3
e¸sitli˘ ginden anlarız. Böylece, e¸sitli˘ ginden, x y = 48 ve çevrelerin e¸sitli˘ ginden de
21 x + y + jDEj = (8 x) + (12 y) + 8 + jDEj
sin x =
jCDj olaca˘ gından, x + y = 14 bulunur. Böylece, x y = 48
ve x + y = 14 e¸sitliklerinden x = 6 ve y = 8 elde
olur. Buna göre,.
edilir. Bundan sonra, bir önceki sorudaki yöntemi
p
2 2
2 2
jCDj = 3 7 + 7 4 = 7 5 kullanarak,
21 3 8 + 12 8 2 3
2
2
oldu˘ gundan, sin x = = bulunur. cos A = = ;
35 5 2 8 12 4
C r 3 p
2
2
x jDEj = 6 + 8 2 6 8 4 = 2 7
p
100 elde edilir. Böylece, üçgenin kenarları, 6; 8 ve 2 7
28 olarak bulunur.
A B
75 D 21