Page 370 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 369
(UAMO - 2004)
A ABC üçgeninde, A ve B açılarının açıortayları
b
b
x = ?
50 o [AN] ve [BM]’nin kesi¸sim noktası O olsun. OMCN
dörtgeni kiri¸sler dörtgeni oldu˘ guna göre, BMN
c
M açısı kaç derecedir?
x
B B
C * *
β β
N
[BM ı¸sınının çemberi kesti˘ gi nokta D O
α
olsun. [BD] çaptır ve çapı gören açı 90 olur. Ayrıca o α x

A o C

aynı yayı gördüklerinden m(D) = m(A) = 50 ve M
b
b
m(DBC) = 40 bulunur

b
A
C açısı x derece olsun. ABC üçgeninden,
50 o D x + 2 ( + ) = 180
50 o
M olur. OMCN kiri¸sler dörtgeni oldu˘ gundan yani, O,
x = 40 o M, C ve N noktaları çember üzerinde oldu˘ gundan,
B
m(MON) + x = m(AOB) + x = 180
b
b
C
’dir. Buradan,
(180 ( + )) + x = 180

(UMO 1999)

bulunur. Bu iki e¸sitlikten x = 60 elde edilir. O halde,
Kö¸seleri bir çemberin üzerinde bulunan ABCD
aynı yayı gördüklerinden ve [OC], C açısının açıortayı
dı¸sbükey dörtgeninde AD \ BC = fEg ve
oldu˘ gundan

AB \ DC = fFg olmak üzere, m(A) = 61 ise x
b
m(AEB) + m(AFD) =? m(BMN) = m(OCN) = = 30
b
c
b
b
2
bulunur.
m(AEB) = y ve m(AFD) = x diyelim. ABCD
b
b
kiri¸sler dörtgen oldu˘ gundan kar¸sılıklı açıların toplamı
180 ’dir. O halde, m(BCD) = 119 olur. Di˘ ger

b
yandan, CDF dı¸s açısının ölçüsü x + 61 olur.

b
Böylece, EDC üçgeninde,
x + 61 + y + 61 = 180
e¸sitli˘ ginden, x + y = 58 bulunur.
(UAMO - 2004
¸ Sekilde; ABCD kiri¸sler dörtgeni, m(\ECF ) = 90 ;

m(\AEB) = m(\AEF) ve m(\AFE) =
m(\AFD)’dir. Bu dörtgende jBCj = jCDj,
jBEj = 2 br ve jCFj = 2; 5 br oldu˘ guna göre, jBCj
kaç br’dir?
A
D
B
F
E
C
Yanıt : 10/3