Page 369 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
368 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir
(UAMO - 1998) Kiri¸sler Dörtgeni
Bir ABCD yamu˘ gunun kö¸segenleri birbirine dik
olmak üzere, uzunlukları 5 ve 12’dir. Yamu˘ gun orta
tabanının uzunlu˘ gu kaçtır? F Kiri¸sler Dörtgeni ve Özellikleri F

D C Dört kö¸sesi de çemberin üzerinde olan dörtgene denir.
1. Bir dörtgende, bir kö¸sedeki açı ile, tam kar¸sısındaki

E kö¸sedeki açının toplamı 360 ise, bu dörtgen, bir kiri¸sler
dörtgen olur.

A B F

jABj’yi sa˘ ga do˘ gru jCDj kadar uzatarak F
noktasını bulalım. Bu takdirde, DBFC bir paralelkenar
ve ACF dik üçgen olur. Pisagor Teoremi kullanılarak,
2. ¸Sekilde görüldü˘ gü gibi, aynı yayı gören iki açı bir-
2 2 2
jAFj = jACj + jCFj birine e¸sit ise, bu dörtgen kiri¸sler dörtgendir.
2 2 2 2
= jACj + jDBj = 5 + 12 = 169
D D
bulunur. Böylece, jAFj = jABj + jBFj = 13 ve
yamu˘ gun orta tabanı
jABj + jDCj jABj + jBFj 13
= = = 6; 5
2 2 2 A A
olur. C C
B B

(UAMO - 1998)
Verilenlere göre x =?
Bir ABC üçgeninin [AB] kenarının orta noktası
olan N’den [BC]’ye çizilen paralel do˘ gru [AC] A
kenarını M noktasında kesiyor. [BC] kenarı x
üzerinde, jBPj = 2jPCj olan P noktası alınıyor. 50 o D
o
[NM] ve [AP] do˘ grularının kesi¸sti˘ gi nokta R olsun. 25
ARM üçgeninin alanı 1 ise, NRPB yamu˘ gunun
30 o
alanı kaçtır? B 50 o
C C
P
M

1 m(BCA) = m(BDA) = 50 oldu˘ gundan,
b
b
R A;B; C; D’den bir çember geçecektir. Buna göre,
2 aynı yayı gördüklerinden x = m(BAC) = m(BDC)
b
b
bulunur.
A B
N
A
x
¸ Sekilden, alanlar oranı ve benzerlik 50 o o D
25
kullanılarak,
Alan(ARN) = 2 ve A (ABP) = 8 30 o
B 50 o
bulunur. Böylece,
C
Alan(NRPB) = Alan(APB) Alan(ARN)
= 8 2 = 6
olur.