Page 371 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
370 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir
Merkezil Dörtgen (UMO - 1994)

Konveks ABCD dörtgeninde

F Merkezil Dörtgen ve Özellikleri F jDAj = jABj = 2, m(A) = 108 ; m(C) = 126

ise jACj =?
Bir kö¸sesi çemberin merkezinde, di˘ ger kö¸seleri çem-
berin üzerinde olan dörtgene denir.

1. Bir dörtgende, bir kö¸sedeki açının 2 katı ile, tam
kar¸sısındaki kö¸sedeki açının toplamı 360 ise, bu dört-

gen, bir merkezil dörtgen olur. Örne˘ gin ¸sekilde y+2x = jACj = 2
360 ise, ABCD merkezil dörtgendir. 2 katı alınma-

yarak toplanan kö¸se çemberin merkezidir.

A
x = ?
2. ¸Sekilde görüldü˘ gü gibi, aynı yayı gören iki açıdan
biri di˘ gerinin iki katı ise, bu dörtgen merkezil dört- o x
gendir. 45 o 60 C
B 1 D 2

[AD ı¸sını üzerinde, jBDj = jDOj = 1
olacak ¸sekilde bir D noktası alıp, [OC]’yi çizelim.
OCD üçgeninde, 60 ’lik açının bir kenarı 1 di˘ ger

kenarı 2 oldu˘ gundan, OCD üçgeni bir 30-60-90
üçgenidir. Di˘ ger taraftan, hem ODB; hem de COB
üçgenleri ikizkenar olur. Yani, jOCj = jOBj’dir. Son
olarak,
A¸sa˘ gıda verilenlere göre jACj =?
m(BAO) = 180 30 75 = 75
b
3 C

D oldu˘ gundan, ABO üçgeni de taban açıları 75 olan bir
134 ikizkenar üçgendir. Böylece,
3
jBOj = jAOj = jCOj
113
elde edilir. Bu, ABOC dörtgeninin, merkezi O olan
A
B bir merkezil dörtgen oldu˘ gunu gösterir. O halde, ACB
b
b

2 113 + 134 = 360 oldu˘ gundan, çevre açısı, AOB merkez açısının yarısına e¸sittir. Yani,

ABCD; C merkezli bir merkezil çemberdir. x = 15 bulunur.
Yani,jCDj = jCAj = jCBj’dir.
C
D
134
113
A
B