Page 120 - og_2_olimpiyat

iv. Ortalamalar Arasındaki Eşitsizlik (KO ≥ AO ≥ GO ≥ HO)

Eveet, yavaş yavaş bu bölümün de sonuna geliyoruz. Aman dikkat hemen üç adım son-
ra bölümün sonuna ulaşacak değiliz. Burada azıcık yavaşla. Gerçekten de yavaş hareket
etmemiz gereken bir yerdeyiz. Zira bu bölümde gezegenimin daha taşlı, kayalı kısımlarını
gezeceğiz. Bazı anlarda etrafının karardığını, bir şey göremediğini ('anlayamadığını' biçi-
minde seslendirilebilir) düşünebilirsin. Ancak emin ol; aynı yeri tekrar tekrar incelemenin,
araştırmanın faydaları tartışılmaz. Çünkü bu gezintilerin tekrarı ile ilk anlarda fark edemedi-
4. Bölüm
ğin ayrıntıları görmeye başlar ve manzara belirginleştikçe verdiği lezzet de o oranda artar.
Hadi öyle ise gel, dikkatlice, yanı başımda ilerle.
Aslında çok sade bir noktadan başlıyor mesele; her a ve b reel sayısı için (a - b) ≥ 0 dır.
2
Buna göre, a - 2ab + b ≥ 0 dan a + b ≥ 2ab dir. Yani herhangi iki reeel sayının kareleri toplamı bu iki
2
2
2
2
reel sayının çarpımının iki katından büyük ya da eşittir. Bu eşitsizliği şöyle bir problem için kullanabiliriz;
Örnek
2
2
51 x + y = 10 olduğuna göre xy çarpımının alabileceği en büyük sayı değeri kaç olur?
Çözüm Farklı açılardan problem ele alınıp isteneni elde edebilirsin. Burada az önce herhangi iki reel sayı
y ≥
2
için tesbit ettiğin eşitsizliği kullanarak x + 2 2 xy yazabilir ve 10 ≥ 2xy den 5 ≥ xy olur. Buna

10
göre, xy çarpımının alabileceği en büyük değer 5 tir.
Gerçekten kareleri toplamı 10 olan x = y = ñ5 için xy çarpımı ñ5 . ñ5 = 5 olur.

Örnek
2
2
2. ve 3. Dereceden Denklemler-Eşitsizlikler
52 ab = 6 olduğuna göre a + b toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?
2
2
a + b ≥ 2ab eşitsizliğinden a + b ≥ 2 . 6 olduğu için a + b toplamının alabileceği en küçük
2
2
2
2
Çözüm
değer 12 dır. Çarpımları 6 olan a = b = ñ6 değerleri için a + b = (ñ6) + (ñ6) den a + b toplamı
2
2
2
2
2
2
12 olur.
Gel bak, biraz ilerde daha ilginç şeyler var. Burada pek oyalanmayalım.
Az önceki tespiti tekrar ele alalım ve yeni sonuçlar üretelim. Başlangıçta gördüğün gibi her a ve b reel
2
2
2
2
sayısı için (a - b) ≥ 0 dır. Buna göre, a - 2ab + b ≥ 0 dan a + b ≥ 2ab ve ifadenin iki tarafı 2ab ile
2
+
2
abb ≥
2
a +
2

toplanarak 2 4 ab eşitsizliği elde edilir. Bu durumda (a + b) ≥ 4ab den (iki tarafı 4 ile bölüp)
+
( ab) 2
+
 ab  2
  ≥ ab ve (Burada sorunsuz ilerleyebilmek için a ve b sayılarının, negatif olmayan değerler olma
 2  ab
+
şartı getirelim) iki tarafın karekökü alınarak ≥ ab bulunur. Demem o ki negatif olmayan iki reel
2
sayının toplamının yarısı (istersen iki sayının aritmetik ortalaması) her zaman bu iki sayının çarpımının
karekökünden (istersen iki sayının geometrik ortalaması) eşit ya da büyüktür. Kısaca tekrar edersem; a
ve b negatif olmayan iki reel sayı olmak üzere,
+
ab ≥ ab yani (şimdilik iki sayı için) A.O ≥ G.O dir. Daha sonra bu genellemeyi tekrar ele almak üzere
2
iki reel sayı için geçerli bu durumu örneklendirelim. Bir dakika bir dakika unutmadan; eşitlik durumu (baş-
2
langıca dönecek olursan (a - b) ≥ 0 eşitsizliğinden hareketle) ancak a = b iken mümkündür. Aşağıdaki
bir iki örneği inceleyelim.
120 ALTIN NOKTA