Page 88 - og_2_olimpiyat

Örnek  1  2 n
85 x ≠ 0 bir reel sayı ve n, birden büyük bir doğal sayı olduğuna göre, x +  nin açılı-

mındaki sabit sayının değeri aşağıdakilerden hangisidir?  x 
(ÜSS - 1974)
1 1 n!
A) C (2n, n) B) C (2n, 1) C) C (n, 1) D) n(n-1) E)
2 2 2
1
Çözüm Bir önceki örneğin genelleşmiş biçimini görüyorsun. Buna göre, x ve x in eşit kuvvetlerinin olabil-
3. Bölüm
mesi için açılımın 2n olan kuvvetinin yarısı alınır. Sonuç olarak, ifadenin terimlerinden dolayı başka-
ca bir değer gelmeyeceği için açılımdaki sabit sayı C(2n, n) dir.
Cevap: A

Örnek n
86 (2a - 3b + ab + 4) ifadesinin açılımındaki sabit terim 1024 ise n kaçtır?

Açılımdaki a ve b den bağımsız terimi bulmak için pratik biçimde (Tüm açılımın terimlerini düşü-
Çözüm
necek olursan a ve b nin yer aldığı terimlerden kurtulmak için) a nın ve b nin yerine 0 yazmak
n
n
2n
10
yeterlidir. Buna göre (2 . 0 - 3 . 0 + 0 . 0 + 4) = 1024 ten 4 = 1024 ve 2 = 2 olur. Sonuç olarak
2n = 10 ve n = 5 tir.
Örnek ( 7
87 x +3 y −5 z) nin açılımındaki katsayılar toplamı kaçtır?

ÇARPANLARA AYIRMA (En Mühim Alışveriş)
Açılımdaki tüm terimleri bir an için yazdığımızı düşünelim. Şimdi her terimde (var oldukları yerde)
Çözüm
x, y ve z yerine 1 yazınca bu terimlerin herbiri için katsayısıyı elde edilir. Buna göre açılımdaki
katsayılar toplamı pratik biçimde değişkenlerin yerine 1 yazarak bulunabilecektir. Verilen açılımın
katsayılar toplamı (1 + 3.1 - 5.1) = -1 dir.
7

Örnek 2 10 2 20
+
xx
88 ( 1++ ) =a 0 + a xa x + ... + a x olduğuna göre, çift indisli katsayıların topla-
20
2
1
mı olan a + a + a + a + . . . + a kaçtır?
0 2 4 6 20
(MAT-II 2009)
3 + 1 4 + 1
10
10
10
10
A) 2 + 1 B) 3 - 1 C) 4 - 1 D) E)
10
2 2
Çözüm Verilen açılımın sağ tarafındaki katsayılardan sadece çift indisli olanlarını bulmamız isteniyor. Öyle
ise katsayılar toplamını ilgilendiren bir yaklaşımdan hareketle isteneni bulalım. Eşitlikte x = 1 için
tüm katsayılar toplamı elde edilirken x = -1 için ise tek indisli katsayıların ters işaretli olanları ile
çift indisli katsayıların toplamı elde edilecektir. Bu durumda iki ifade toplanarak tek indisli katsayı-
lar toplamından kurtulabilirsin. Buna göre,
( 111 ) 10 = a + a + a + a + a +... + a + a 20
2
++
2 10 0 1 2 3 4 − 19
11−+ − )
(
1
() =a 0 − a 1 + a 2 − a 3 + a 4 +... a 19 + a 20

3 + 1 = 2.( a + 0 a + 2 a + 4 a + 6 ... + a ) dan çift indisli katsayıların toplamı
10
20
a + a + a + a + ... + a 3 + 1
10
0 2 4 6 20 = dir.
2
Cevap: D
88 ALTIN NOKTA