Page 89 - og_2_olimpiyat

Örnek (1 + x + x ) ifadesinin açılımında x in katsayısı nedir?
5
2 9
89 (UMO - 2002) 3. Bölüm
A) 1680 B) 882 C) 729 D) 450 E) 246

 9  9
9
2
2
8
Çözüm Açılımdaki 1 + x birinci terim, x ise ikinci terim olmak üzere   (1 + x) teriminden,   (1 + x) .x
0
1
 
 
 9  9
2 2
7
teriminden ve   (1 + x) .(x ) teriminden x elde edilebilir. Bu durumda   (1 + x) teriminin
9
5
0
2
   
 9  9 98765!
....
açılımından   .   . x ile .x = 126.x ,
5
5
5
5
0
    45!
!.
 9  9  8 8765!
...
5
5
2
  (1 + x) . x teriminin açılımından   .   . x . x ile 9. .x = 504 . x ve son olarak
2
3
8
1
!.
3
1
      35!
7
 9  9   98
.
2 2
.
2 2
7
5
5
  (1 + x) . (x ) teriminin açılımından     . x .(x ) ile . 7 . x = 252 . x elde edilir. Bu
2
2
1
      2
5
5
2 9
terimlerin toplamı ile (126 + 504 + 252) . x = 882 . x olur. Buna göre, (1 + x + x ) ifadesinin açı- ÇARPANLARA AYIRMA (En Mühim Alışveriş)
5
lımında x in katsayısı 882 dir.
Cevap: B
Örnek 2014 2015 sayısının 121 ile bölümünden kalan kaçtır?
90 (UMO - 2014)
A) 45 B) 34 C) 23 D) 12 E) 1
Çözüm Bu problemin konu ile ne ilgisi var gibi görünüyor değil mi? Dur acele etme! Bakalım nasıl bir
ilgisi var; 121 sayısı 11 in karesi ve 2014 sayısının 11 ile bölümünden kalanın 1 olması işimize
yarayabilir. Dolayısı ile 2013, 11 ile tam bölünebildiği için 2014 2015 = (2013 + 1) 2015 eşitliğini binom
açılımını kullanarak yazalım.
5
( 2013 1) 2015 = 2015   . 2013 2015 + 2015   . 2013 2014 +   2015  . 2013 2013 +... +   2015  . 2013 2 +   2015  . . 2013 +  2015  
+



 0   1   2   2013   2014   2015 
5
( 2013 1) 2015 = 2015   . 2013 2015 + 2015   . 2013 2014 +   2015  . 2013 2013 +... +   2015  . 2013 2 +   2015  . . 2013 +  2015  
+



 0   1   2   2013   2014   2015 
E ne oldu şimdi? Şu oldu: son iki terim hariç diğer tüm terimler en az iki defa 11 ile bölünebilen de-
ğerler olduğu için (diğer bir deyişle 121 e tam bölündükleri için) bu iki terime bakmak yeterli. Buna
göre, 2015 . 2013 + 1 toplamının 121 ile bölümünden kalan, 2015 . 2013 + 1 ≡ 79 . 77 + 1 (mod 121)
den 6084 ≡ 34 (mod 121) dir. Sonuç olarak 2014 2015 sayısının 121 ile bölümünden kalan 34 tür.
Cevap: B
ALTIN NOKTA 89