Page 84 - og_2_olimpiyat

Örnek
2
76 2x - 6x + 1 = 0 eşitliğini sağlayan x değerlerini bulunuz.

Bu üç terimliyi pratik olarak çarpanlara ayırabilseydin her bir çarpanın sıfıra eşit olmasını sağla-
Çözüm
yan x değerleri aradığımız cevap olurdu. Ancak maalesef bu üç terimli pratik olarak çarpanlara
3. Bölüm
ayrılmıyor. İşte bu durumlar için biraz dolambaçlı görünse de takip ettiğimiz bir yol var. Ama yolun
dolambaçlı olması seni ürkütmesin. Hep aynı yolu kullanarak sonunda genel bir yöntem keşfe-
dildiği için ileride (az sonra) bu dolambaçlı yol yerine genel yöntemi kullanabilirsin. Önce yolu
görelim; Üç terimliyi bir tam kare elde edecek şekilde düzenleyelim.
1
2x - 6x + 1 = 2(x - 3x + ) ile x li terimin katsayısını 1 yapalım.
2
2
2
2
Parantez içi tam kare (x + 2xy + y ) olabilsin diye -3x = 2yx den hareketle y = 9 terimi ekleyip
2
2
2
4
9 9 1  7 
2
çıkaralım. O zaman 2(x − 3x + − + ) den 2 (x − 3 2  elde edilir. Bu durumda eşitlik
) −

4 4 2  2 4 
 3  2 7
2x − 6x + 12 x −  − = 0 biçimine dönüşür.
2
=

 2  2
 3  2 7 3 7 3 7
Böylece x −  = den x − = yadax − =− olup eşitliği sağlayan x değerleri

 2  4 2 2 2 2
3 ∓ 7
x = olarak bulunur.
,
12
2
Şimdi aynı yöntemle ax + bx + c = 0 biçimindeki denklemler için genel çözüm bulalım. Denklemi,
2
b c
x nin katsayısı 1 olacak şekilde x + x+ = 0 yazıp tam kare biçiminde düzenleyelim.
2
2
ÇARPANLARA AYIRMA (En Mühim Alışveriş)
a a
2
2
Burada x + 2xy + y gibi bir tam kare olabilmesi için 2xy = b x den y = b olup b terimini ek-
2
a 2a 4a 2
b b 2 b 2 c  b  2 b 2 c
leyip çıkaralım. Buna göre, x + x+ − + = 0 dan x+  − + =0 elde edilir.
2

a 4 a 2 4 a 2 a  2 a  4 a 2 a
2
2
2

Böylece x+ b   2 = b − 4 ac den x + b = b − 4 ac ya da x + b = − b − 4 ac olup

 2 a  4 a 2 2 a 2 a 2 a 2 a
2
− b ∓ b − 4 ac
ax + bx + c = 0 denklemini sağlayan x değerleri x = biçiminde genel çözüm
2
12
,
2 a
olarak bulunur. Keşfettiğin bu yöntemin sonuçlarını da bir araya getirerek ekrana yansıtalım.
2
a, b, c ∈ ve a ≠ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 denkleminin;
Diskriminantı : b - 4ac = ∆ (Delta)
2
-b + ñ∆ -b - ñ∆
Kökleri : x = 2a ve x = 2a dir.
2
1
Burada yer alan bilgiler yardımı ile bir denklemin, sadece katsayılarını (a, b ve c) kullanarak, köklerinin
reel olup olmadığını, kökler toplamını, kökler çarpımını ve kökler farkını tespit edebilirsin. Kaldı ki bu
keşfettiğin bilgileri gezimizin ilerleyen bölümünde ayrıntılı olarak göreceğiz. Şimdi duralım ve gezimizin
bu bölümü hem biraz uzun hem de yorucu olduğu için burada mola verelim.
84 ALTIN NOKTA