Page 85 - og_2_olimpiyat

vii. Binom Açılımı

n pozitif tam sayı olmak üzere, (x + y) ya da benzer biçimdeki ifadelerin özdeşi olan açılımlara binom
n
açılımı denir. Daha çok ilk terimin (x) azalan kuvvetlerine göre açılır. Biz de aksi belirtilmediği sürece 3. Bölüm
ifadelerdeki ilk terimin azalan kuvvetlerine göre binom açılımlarını yazacağız.

n 
n 
n 
n
n 
n
n
( xy) =   . x +   x . n−1 . y +    x . n− 2 . y +... +     .x nr .y r +... +  n   ..xy n −1 +   .y n
−
2
+

 
r
2
0
1
n
         n −1   
Bu açılımın sağladığı imkanları tepe tepe kullanmaya başlamadan bir kaç açılım yapalım. Böylece tüm
açılımı yazmaya gerek kalmadan sadece açılım içinde gereken kısımları kullanma yeteneğimiz gelişir.
Haydi kolay gelsin.

Ne, ne oldu! Garip garip bakıyorsun... Hmm sanırım anladım. İyi de burada gördüğün ÇARPANLARA AYIRMA (En Mühim Alışveriş)
5
5
6
 5          11
6
,
,
,
,
,
            şeklindeki değerlerin ne olduğunu merak ediyorsun. Tabii ki unutmadım. An-
4
3
1
0
2
           10 
cak gezegenimde sembollerin, gösterimlerin ya da ifade ediliş biçimlerinin ne kadar önemli olabileceğini
tekrar anlatma fırsatı bulmak için böyle ilerlemeyi tercih ettim. Gerçekten gezintimizin keyfine varmak,
gezegenimi tanımak istiyorsan (bilenler için sözüm yok) karşılaşacağın şeyleri bilmen, diğer bir deyişle
öğrenmen gerekir. İşte burada böylesi bir durum var. Bu sebeple burada bizim için gerekli olduğu kadarı
 n
ile bir bilgi paylaşayım;   ya da C(n, r) değeri, n tane nesneden r tanesinin kaç farklı şekilde seçile-
r
 
bileceğini hesaplamak için kullandığımız gösterimdir. Bu bilgi ile ilgili ayrıntıları daha farklı bir gezintiye
havale edip burada sadece hesaplamanın nasıl yapıldığını anlatmakla yetineceğim. Hesaplama ile ilgili
 n n!
varılabilecek sonuçları da keşfetmek (istersen) sana kalıyor.   = nr r )!. ! işte bu kadar. (Sakın 'n! de
  (
−
r
ne demek ?' diye sorma!)
Buna göre, biraz önce geçen üç açılım için açılımlardaki değerler hesaplanarak;
( xy) = x +5 x y +10 x y + 10 x y + 5 xy + y 5
5
4
3
2
+
5
4
3
2
( a + 2 b) = a +6 a (2 b)+15 a (2 b) + 20 a (2 b) +15 a (2 b) +6 a(2 b) + 2b) 6
(
2
4
6
5
3
b
4
3
5
6
2
112a) (
( 2a − 3x) =( 2a) + ( 10 − 3x)+... + 11! ( . 2a) 11 r ( −3x) + ... + ( 3x) +− ( 3x) 11
−
112a) − (
10
11
11
r
3
( 11 rr− )!. !
elde edilir.
Daha fazla zaman kaybetmeden ilerlemeye devam edelim. Elbette örnekleri görmeye.
ALTIN NOKTA 85