Page 20 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

1. BÖLÜM ÜÇGENLER - I

Soru (2000 ESTONYA):
Kenar uzunlukları ardışık tamsayı olan bir ABC üçgeninin, B köşesine ait iç açıor-
tayı ile A köşesine ait kenarortayı birbirine diktir. Bu şartlar altında, ABC üçgeni-
nin kenar uzunluklarını bulunuz.
Çözüm
1- [BC] nin orta noktası D olsun. ABD
üçgeninin ikizkenar olduğu açıktır. O
halde IABI=IBDI=IDCI dir.
2- IABI=k dersek IBCI=2k olur. Probleme
göre, kenar uzunlukları ardışık olacağı
için IBCI-IABI farkı 1 veya 2 olabilir.

IBCI-IABI=1⇒2k-k=1 den k=1 olur ki IABI=1 ve IBCI=2 bulunur. Şu halde IACI uzunluğunun 0
veya 3 olması gerekir. Bu ise üçgen eşitsizliğiyle çelişir.
IBCI-IABI=2⇒2k-k=2 den k=2 olur. Nitekim IABI=2 ve IBCI=4 ise IACI=3 olur.

Soru:
Bir açının açıortayı üzerindeki herhangi bir noktanın, açının kollarına eşit uzaklık-
ta olduğunu gösteriniz.

Çözüm
A A 1- Kolayca görüleceği gibi, (AKA) eşlik
D D kriteriyle BKD ≅ BKE ve IKDI=IKEI dir.

K K
B E C B E C

A Soru:
Bir üçgende iç açıortayların bir noktada kesiştiğini gösteriniz.

I Çözüm

A A
B C
P
R
I
I
B C B C
Q
1- B ve C köşelerine ait iç açıortaylar I noktasında kesişsin. I noktasından üçgenin [AB], [BC] ve
[AC] kenarlarına inilen dikme ayakları sırasıyla P, Q ve R olsun. Şu halde IIPI=IIQI=IIRI olaca-
ğı için IPA ve IRA üçgenleri eştir. Dolayısıyla AI doğrusu açıortay olmak durumundadır.

19