Page 239 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ

Soru ( 1996 ST. PETERSBURG ):
s(BAC)=60° olan ABC üçgeninin içerisinde bir O noktası s(AOB)=s(BOC)=s(COA)=120°
''Bir üçgenin içerisinde olacak şekilde alınıyor. D ve E noktaları [AB] ve [AC] kenarlarının orta noktaları ise gös-
alınan bir noktanın
köşelere olan uzunlukla- teriniz ki A, D, O, E çemberseldir.
rı toplamının en küçük
olduğu yer neresidir?'' Çözüm:
sorusunu Fermat sor-
muştur. B B 1- s(ABO)=α alınırsa s(OAB)=60°-α ve s(OAC)=α
Bu soru Toricelli tarafın- olur. (AA) benzerliğinden AOB ≈ COA olur. Spiral
dan ''ABC'-ACB'-BCA' D D benzerliği kullanacak olursak
eşkenar üçgenleri çizilir- 120° 120° 120° 120°
se; [CC'], [BB'], [AA'] O O
120° 120°
doğrularının kesiştiği
nokta, P noktasıdır.'' A E C A E C
şeklinde cevaplanmıştır. 2- Benzerlik sonunda D→E olmaktadır. O halde s(DOE)=120° dir.
Bundan dolayı bu nokta- Zaten s(DAE)=60° verilmişti; demek ki A, D, O, E çemberseldir.
ya Toricelli Noktası da
denir.
Soru:
PQR eşkenar üçgeninin içerisinde; s(RXP)=110°, s(PXQ)=120° ve s(QXR)=130° olacak
şekilde bir X noktası alınıyor. Kenar uzunlukları IXPI, IXQI ve IXRI olan bir üçgenin
açılarını bulunuz.
A
Çözüm:

P Q Q 1- PXR üçgenini, R köşesinden saat yönünde
60° derece çevirdiğimizde, RXX' eşkenar
IPXI
B C üçgen ve IPXI=IQX'I, IXRI=IXX'I olur.
C' IQXI 50° X'
IRXI Böylece s(QXX')=130°-60°=70°,
A 120° 130° 70° 60°
60° s(QX'X)= 50° ve
X
B' 110° X IRXI s(XQX')=180°-(70°+50°)= 60° olarak bulu-
IRXI
P nur.
P R P R
B C
Soru ( 2009 TÜRKİYE ):
ABC eşkenar üçgeninin iç bölgesinde bir D noktası, IADI=8, IBDI=13 ve s(ADC)=120°
A'
koşullarını sağlıyorsa IDCI kaçtır?
Çözüm:
+
A A x ∈ Z için
8
kenarları tamsayılı üçgenler
X'
8 8 60°
60°
+
120° D 60° x 2 + x 1
D 4 13
H 2x + 1 2x + 1
13 x 13
11
120°
60°
B C B C x 2 −1 2x + 1
1- ADB üçgeni, A köşesinden saat yönünün tersine 60° derece döndürüldüğünde ADX' eşkenar
üçgen ve IAX'I=IADI=8, ICX'I=ICDI=13 olur. DCX' üçgeninde X'H yüksekliği çizilirse
238